Polynom

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

$(1) \enspace$ $ax^2+bx+c$ har to reelle røtter $r$ og $s$. Vis at røttene til $cx^2+bx+a$ er $\frac1r$ og $\frac1s$.
$(2) \enspace$ Polynomet $p(x)=x^3+5x^2-20x+14$ har de tre reelle nullpunktene $r_1,r_2$ og $r_3$. Hva er $p(r_1+r_2+r_3)$?
alund
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 31/03-2017 21:40

[tex](2)[/tex]
[tex]p(r_1+r_2+r_3)=p(-5)=114[/tex]

[tex](1)[/tex]
Har at [tex]rs=c/a[/tex] og [tex]r+s=-b/a[/tex].
[tex]cx^2+bx+a=0[/tex]
[tex]cx^2/a+bx/a+1=0[/tex]
[tex]rsx^2-(r+s)x+1=0[/tex]
[tex]x={r+s\pm \sqrt{r^2+2rs+s^2-4rs}\over 2rs}[/tex]
[tex]x={r+s\pm (r-s)\over 2rs}[/tex]
[tex]x={1\over r}\: \vee\: x={1\over s}\:\:\: \blacksquare[/tex]
alund
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 31/03-2017 21:40

Her er en oppfølger:
Finn summen av koeffisientene til polynomet man får etter å utvide og samle leddene i produktet
[tex](1-3x+3x^2)^{743}(1+3x-3x^2)^{744}[/tex] .
alund
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 31/03-2017 21:40

Jepp, helt rett, vilma. Er nok en av de enklere oppgavene i "The USSR Olympiad Problem Book". Bare å sette [tex]x=1[/tex] så skal man vel få summen av koeffisientene til polynom.
Her er en oppgave som jeg likte godt.
"Hvis [tex](3x^2-x-2)^6=a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+...+a_1x+a_0[/tex], hva er [tex]a_0+a_2+a_4+...+a_{12}[/tex]?"
Mer relatert til de Markus publiserte er denne:
"Anta at polynomet [tex]p(x)[/tex] har nullpunktene [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex], og at [tex]p(2x+1)=4x^2-30x+12[/tex].
Hva er da [tex]x_1+x_2[/tex]?"
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

alund skrev: "Anta at polynomet [tex]p(x)[/tex] har nullpunktene [tex]x_1[/tex] og [tex]x_2[/tex], og at [tex]p(2x+1)=4x^2-30x+12[/tex].
Hva er da [tex]x_1+x_2[/tex]?"
Alternativ 1:
Vi ser først at p(x) må være monisk: Sett $y=2x+1$, så $x=0.5y-0.5$, og ved innsetting fås at ledende koeffisient er $1$.

La derfor $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)$. Da er

$p(0)=x_1x_2$ og
$p(1)=(1-x_1)(1-x_2)=1-(x_1+x_2)+p(0)$, så

$x_1+x_2=1-p(1)+p(0)$, der $p(1)=12$ og $p(0)=1+15+12=28$, så

$x_1+x_2=1-12+28=17$

Alternativ 2:

$p(2x+1)=(2x+1)^2-17(2x+1)+28$, så $p(x)=x^2-17x+28$, og summen av røttene er gitt ved $-\frac{-17}{1}=17$
Markus skrev:$(1) \enspace$ $ax^2+bx+c$ har to reelle røtter $r$ og $s$. Vis at røttene til $cx^2+bx+a$ er $\frac1r$ og $\frac1s$.
$ax^2+bx+c=0\Leftrightarrow c(\frac1x)^2+b\frac1x+a=0$. Hvis $r,s\neq 0$ er løsninger av denne, er $\frac1r, \frac1s$ åpenbart løsninger av $cy^2+by+a=0$
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Sent svar, men det er selvfølgelig helt korrekt Gustav og alund! Pent vist!
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

alund skrev:Hvis [tex](3x^2-x-2)^6=a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+...+a_1x+a_0[/tex], hva er [tex]a_0+a_2+a_4+...+a_{12}[/tex]?
Vet ikke helt om denne var en videre utfordring, men prøver denne allikevel jeg.

La $f(x) = \sum_{n=0}^{12} a_nx^n = (3x^2-x-2)^6$
Da er $f(1)= a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + a_{11} + a_{12} = 0$
og $f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots + a_{10} - a_{11} + a_{12} = 2^6$

Og da er $a_0 + a_2 + \dots + a_{10} + a_{12} = \frac{f(1)+f(-1)}{2} = \frac{2^6}{2} = 32$


Relevant oppfølger fra runde 2 i Abelkonkurransen 2012/13:
Hvis man ganger ut uttrykket $$\frac{(x+1)(2+x^2)(3+x^3)\cdots (102+x^{102})(103+x^{103})}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 102 \cdot 103}$$ får man et polynom på formen $a_0+a_1x + \dots + a_{5355}x^{5355} + a_{5356}x^{5356}$. Hva er summen av koeffisientene, altså $a_0+a_1 + \dots + a_{5355} + a_{5356}$?
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Markus skrev:
Relevant oppfølger fra runde 2 i Abelkonkurransen 2012/13:
Hvis man ganger ut uttrykket $$\frac{(x+1)(2+x^2)(3+x^3)\cdots (102+x^{102})(103+x^{103})}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 102 \cdot 103}$$ får man et polynom på formen $a_0+a_1x + \dots + a_{5355}x^{5355} + a_{5356}x^{5356}$. Hva er summen av koeffisientene, altså $a_0+a_1 + \dots + a_{5355} + a_{5356}$?
Det er vel så enkelt som å la x=1, og nesten alle faktorer forkortes unntatt 104 i teller
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Gustav skrev:
Markus skrev:
Relevant oppfølger fra runde 2 i Abelkonkurransen 2012/13:
Hvis man ganger ut uttrykket $$\frac{(x+1)(2+x^2)(3+x^3)\cdots (102+x^{102})(103+x^{103})}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 102 \cdot 103}$$ får man et polynom på formen $a_0+a_1x + \dots + a_{5355}x^{5355} + a_{5356}x^{5356}$. Hva er summen av koeffisientene, altså $a_0+a_1 + \dots + a_{5355} + a_{5356}$?
Det er vel så enkelt som å la x=1, og nesten alle faktorer forkortes unntatt 104 i teller
Jepp. Er jo dog veldig lurt å sjekke ulike verdier når du får slike typer oppgaver. Både i den oppgaven alund ga og denne er jo det løsningsmetoden.

Her er en til oppfølger, som forhåpentligvis er litt vanskeligere;
La $P(x)=-2x^3+48x^2+k$. Hvor mange verdier $k$, finnes det slik at $P(x)$ har tre heltallsrøtter som alle er primtall?
alund
Noether
Noether
Innlegg: 48
Registrert: 31/03-2017 21:40

Markus skrev:Her er en til oppfølger, som forhåpentligvis er litt vanskeligere;
La $P(x)=-2x^3+48x^2+k$. Hvor mange verdier $k$, finnes det slik at $P(x)$ har tre heltallsrøtter som alle er primtall?
Er dette rett? Var litt uventet svar...

Skal [tex]P[/tex] ha tre "primnullpunkt", [tex]p_1,\: p_2,\: p_3[/tex], må [tex]P(x)=-2(x-p_1)(x-p_2)(x-p_3)=-2x^3+48x^2+k[/tex]
Sammenligning av koeffisienter viser at dette ikke går opp for x-leddet.
[tex]-2(p_1p_2+p_2p_3+p_3p_1)\neq 0[/tex] for alle primtall [tex]p_1,\:p_2,\:p_3[/tex].
Derfor er der ingen verdier av [tex]k[/tex] slik at [tex]P[/tex] har tre primtallsrøtter.

Gode løsninger på de jeg la ut tidligere, forresten, Gustav og Markus. Selvfølgelig rett! Oppgavene er fra Abelkonkurransen runde 2 i 99/00.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

alund skrev: Skal [tex]P[/tex] ha tre "primnullpunkt", [tex]p_1,\: p_2,\: p_3[/tex], må [tex]P(x)=-2(x-p_1)(x-p_2)(x-p_3)=-2x^3+48x^2+k[/tex]
Sammenligning av koeffisienter viser at dette ikke går opp for x-leddet.
[tex]-2(p_1p_2+p_2p_3+p_3p_1)\neq 0[/tex] for alle primtall [tex]p_1,\:p_2,\:p_3[/tex].
Derfor er der ingen verdier av [tex]k[/tex] slik at [tex]P[/tex] har tre primtallsrøtter.
Ser da riktig ut dette.

Oppfølger: Samme problemstilling, bortsett fra at polynomet har tre heltallige røtter.
OYV

La a , b og c være de tre heltallige røttene. For at koeffisienten i x-leddet skal bli null , må

a = -[tex]\frac{bc}{b+c}[/tex]

a er et heltall [tex]\Leftrightarrow[/tex] bc er delelig med (b+c) [tex]\Leftrightarrow[/tex] b = c = 2n (partall)

[tex]\Rightarrow[/tex] a = -n.

Videre har vi at 2( a + b + c ) = 48 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a + b + c = 24 [tex]\Leftrightarrow[/tex] -n + 2n + 2n = 24

[tex]\Leftrightarrow[/tex] 3n = 24 [tex]\Leftrightarrow[/tex] n = 8

n = 8 [tex]\rightarrow[/tex] a = -8 , b = c = 16 som gir

k = 2 * a * b * c = 2 * (-8) * 16 * 16 = -4096

P.S. Har funnet en løsning ( der finnes ganske sikkert flere ).
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

OYV skrev:La a , b og c være de tre heltallige røttene. For at koeffisienten i x-leddet skal bli null , må

a = -[tex]\frac{bc}{b+c}[/tex]

a er et heltall [tex]\Leftrightarrow[/tex] bc er delelig med (b+c) [tex]\Leftrightarrow[/tex] b = c = 2n (partall)

[tex]\Rightarrow[/tex] a = -n.

Videre har vi at 2( a + b + c ) = 48 [tex]\Leftrightarrow[/tex] a + b + c = 24 [tex]\Leftrightarrow[/tex] -n + 2n + 2n = 24

[tex]\Leftrightarrow[/tex] 3n = 24 [tex]\Leftrightarrow[/tex] n = 8

n = 8 [tex]\rightarrow[/tex] a = -8 , b = c = 16 som gir

k = 2 * a * b * c = 2 * (-8) * 16 * 16 = -4096

P.S. Har funnet en løsning ( der finnes ganske sikkert flere ).
Ser rett ut som en av løsningene ja. Det fins minst én annen opplagt løsning for k
OYV

Takk for tilbakemelding . Ligningen har også en triviell løsning ( k = 0 ) som gir x = 0 (dobbelrot) eller x = 24 ( gitt at 0 kan
regnes som et heltall ).
Svar