Grenseverdi

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Grenseverdi

Innlegg Kay » 11/01-2018 14:35

Bestem [tex]\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{-a}^{a} \frac{sin(nx)}{x}dx, \quad a \in \mathbb{R}[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Grenseverdi

Innlegg Markus » 11/01-2018 20:42

La $u=nx \enspace \Longrightarrow \enspace \text{d}x = \frac{\text{d}u}{n}$

Integralet omformes til
$\lim_{n \to \infty} \int_{-an}^{an} \frac{\sin(u)}{u} \, \text{d}u = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} \, \text{d}u$

$\frac{\sin(u)}{u}$ er symmetrisk om origo, slik at $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} \, \text{d}u = 2 \cdot \int_{0}^{\infty} \frac{\sin(u)}{u} \, \text{d}u$

Definér $F(t) = \int_{0}^{\infty} \frac{\sin{u}}{u}e^{-tu} \, \text{d}u$. Når $t=0$ reduseres $F(t)$ til det originale integralet - noe av grunnen til at vi bruker dette.

Da er $F'(t) = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_0^\infty \frac{\sin(u)}{u}e^{-tu} \, \text{d}u = \int_0^\infty \frac{\partial}{\partial t} \frac{\sin(u)}{u}e^{-tu} \, \text{d}u = \int_0^\infty \frac{-u \cdot \sin(u)}{u}e^{-tu} = - \int_0^\infty \sin(u)e^{-tu} \, \text{d}u$

Delvis integrasjon på $F'(t)$ gir at $F'(t)= -\left[\frac{(t\sin(x) + \cos(x))e^{-tx}}{1+t^2} \right]_0^\infty = -\frac{1}{t^2+1}$. Fører ikke det inn, da det tar litt lang tid i latex.

Vi vet at $\frac{1}{1+t^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t} \arctan(t)$ slik at

$\int_0^\infty F'(t) \text{d}t = F(t) = -\arctan(t) + C$

Siden $\lim_{t \to \infty} F(t) = 0$ og $\lim_{t \to \infty} -\arctan(t) = -\frac{\pi}{2}$, følger det at $C=\frac{\pi}{2}$. Da er
$F(t) = -\arctan(t) + \frac{\pi}{2}$

Da har vi omsider at
$2 \cdot \int_0^\infty \frac{\sin(u)}{u} \, \text{d}u = 2 \cdot F(0) = 2 \cdot \left(-\arctan(0)+\frac{\pi}{2} \right) = \pi$

Og da er vi ferdige;
$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_{-a}^{a} \frac{\sin(nx)}{x} \, \text{d}x = \pi}$

Edit: rettet opp delvis integrasjon delen.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grenseverdi

Innlegg Kay » 12/01-2018 07:57

Pent :)
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 557
Registrert: 13/06-2016 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester