matematikk.net

La $p$ være et primtall slik at $p=n^2+2$, der $n \in \mathbb{N}$. Vis at $3 \mid n$.

Antar det ikke er tilfellet. Da er [tex]n=3a\pm 1[/tex] og [tex]n^2+2=9a^2\pm 6a+1+2=3(3a^2\pm 2a+1)[/tex], som bare er primtall for [tex]a\in \mathbb{Z}[/tex], om [tex]3a^2\pm 2a+1=1[/tex].
Denne likheten gir
[tex]3a^2\pm 2a=0[/tex]
Om vi antar [tex]a\neq 0[/tex] har vi
[tex]3a=\mp 2[/tex]
Som ikke kan stemme.
Dermed er eneste mulighet at [tex]n[/tex] er delbar på tre.

Om vi derimot antar [tex]a=0[/tex], må [tex]n=1[/tex], som er et moteksempel. Da er [tex]p=3[/tex], men [tex]n[/tex] er ikke delbar på tre.

Konge god løsning, og selvfølgelig helt korrekt! Selvfølgelig må $n>1$ for at oppgaven skal gi mening - godt observert.

Hvordan gikk det med deg i runde 2 av Abel?

Markus skrev:Hvordan gikk det med deg i runde 2 av Abel?

Fikk bare rett på 4,5 og 9, så jeg er ganske skuffet egentlig. Oppgavene i år var riktignok vanskeligere enn før (noen rare etter min mening), og jeg vet at nivået var ganske lavt på en annen ganske god skole, så det er vel ikke så dårlig. Jeg hadde bare mye høyere forhåpninger.

Hvordan gikk det med deg da?

alund skrev:Hvordan gikk det med deg da?

Gikk dårligere enn forventet her også, men enig med deg i at årets vanskelighetsgrad var mye høyere enn vanlig.
Jeg likte heller ikke oppgave 2, som i all grad handler om du kjenner til FTA. Regner med at det var mange som skrev 211 her.

Hva er veien videre da - tenker du å gå videre med matematikken eller noe annet på universitetet?

Forresten; oppgaven du løste er fra Elementary Number Theory av Burton. Zeitz har en oppgave som likner litt i Art and craft of problem solving.

Markus skrev:

alund skrev:Hvordan gikk det med deg da?

Gikk dårligere enn forventet her også, men enig med deg i at årets vanskelighetsgrad var mye høyere enn vanlig.
Jeg likte heller ikke oppgave 2, som i all grad handler om du kjenner til FTA. Regner med at det var mange som skrev 211 her.

Hva er veien videre da - tenker du å gå videre med matematikken eller noe annet på universitetet?

Forresten; oppgaven du løste er fra Elementary Number Theory av Burton. Zeitz har en oppgave som likner litt i Art and craft of problem solving.

Jeg likte ikke oppgave 2 fordi det var et lurespørsmål. Mange sløser tid på å lete etter minste primtall større enn 200. Kanskje av den grunnen du nevnte, men for min del vil jeg heller si at jeg ikke tenkte på 1 som et alternativ. Jeg visste FTA og at 1 ikke er et primtall.

Jeg har lyst til å studere matematikk på NTNU. Du da?

Jeg er helt enig med dere angående oppgave 2: man kunne jo byttet ut 200! med et hvilket som helst positivt heltall uten at det har betydning for oppgaven. Årets runde 2 var vel i overkant vanskelig etter min mening.

alund skrev:Jeg har lyst til å studere matematikk på NTNU. Du da?

Jeg har også tenkt på det samme, men jeg er usikker. Det er også flere siv.ing.-linjer som frister, samt kanskje noe i fysikk-retningen. Men uavhengig om det blir matematikk eller ikke, tror jeg at jeg kommer til å ta fag fra det studiet for å supplementere til linjen jeg ender opp med å velge. Kult at du ønsker å studere matematikk, forresten!

Gustav skrev:Jeg er helt enig med dere angående oppgave 2: man kunne jo byttet ut 200! med et hvilket som helst positivt heltall uten at det har betydning for oppgaven. Årets runde 2 var vel i overkant vanskelig etter min mening.

Helt enig, hvis poenget var å sjekke om man var klar over FTA, og dens betydning, kunne man like så godt brukt $10!$, slik at man ikke trenger å bruke unødvendig lang tid på primtallsverifisering av relativt høye tall, mtp. begrenset tid. Jeg visste i likhet med alund om FTA, men det gikk meg hus forbi. Når jeg leste oppgaven tenkte jeg akkurat det samme som jeg tipper de fleste andre tenkte; hva er det første primtallet etter $200$?