To rekker

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

To rekker

Innlegg Markus » 19/01-2018 20:14

$(1)$ Hva konvergerer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ mot?
$(2)$ Hva er verdien av $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: To rekker

Innlegg alund » 19/01-2018 20:52

(2)
[tex]{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}={\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\over n-(n+1)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]
Dermed blir dette en teleskoprekke og vi får
[tex]\sum_{n=1}^{99}{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9[/tex]
alund offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 31/03-2017 20:40

Re: To rekker

Innlegg Gustav » 19/01-2018 21:51

Markus skrev:$(1)$ Hva konvergerer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ mot?


$=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}=\frac12\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}+\frac12\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\frac12 +\frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}-\frac14 =\frac12-\frac14=\frac14$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: To rekker

Innlegg Markus » 20/01-2018 00:17

Selvsagt korrekt hos dere begge to. Bra!
Mulig de ble litt vel trivielle hvis én er kjent med teleskoprekker.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest