matematikk.net

$(1)$ Hva konvergerer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ mot?
$(2)$ Hva er verdien av $\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$?

(2)
[tex]{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}={\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\over n-(n+1)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]
Dermed blir dette en teleskoprekke og vi får
[tex]\sum_{n=1}^{99}{1\over \sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=9[/tex]

Markus skrev:$(1)$ Hva konvergerer $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ mot?

$=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}=\frac12\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}+\frac12\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\frac12 +\frac12 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1} + \frac12\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}-\frac14 =\frac12-\frac14=\frac14$

Selvsagt korrekt hos dere begge to. Bra!
Mulig de ble litt vel trivielle hvis én er kjent med teleskoprekker.