Algebra

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Algebra

Innlegg Markus » 23/01-2018 23:55

$(1)$ Fire positive heltall $a,b,c,d$ er alle ulike, og tilfredstiller $a^2+b^2=c^2+d^2$. Bestem den minste verdien $abcd$ kan ha.
Hint:
[+] Skjult tekst
En mulig fremgangsmåte er å flytte over noen av leddene på hver side, slik at du kan faktorisere med en av de tre kvadratsetningene, og problemet reduseres da til noe langt lettere.


$(2)$ To tall $x,y \in \mathbb{R}$ er slik at $x^2+y^2+xy=229$ og $xy+x+y=77$. Bestem verdien av $(x-y)^2$.

Edit: la til hint på $(1)$.
Sist endret av Markus den 24/01-2018 19:24, endret 2 ganger.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Algebra

Innlegg alund » 24/01-2018 01:08

(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].

Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].

Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].

Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.

EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].
alund offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 31/03-2017 20:40

Re: Algebra

Innlegg Markus » 24/01-2018 19:16

alund skrev:(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].

Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].

Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].

Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.

EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].


Det er helt korrekt! Fra en tidligere runde 2 i Abel. Tar du den andre og?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Algebra

Innlegg Mattegjest » 24/01-2018 20:05

abcd[tex]_{min}[/tex] = 1 * 8 * 4 * 7 = 224
Mattegjest offline

Re: Algebra

Innlegg Gustav » 24/01-2018 23:03

Det var noe kjent med oppgave 1. Har løst den for en stund siden. Gammelt Abelproblem det også?
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4290
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Algebra

Innlegg Markus » 24/01-2018 23:44

Gustav skrev:Det var noe kjent med oppgave 1. Har løst den for en stund siden. Gammelt Abelproblem det også?


Jepp, men ikke for så veldig lenge siden; siste oppgave runde 2 2014/15.

Ser gjest har gitt rett svar uten fremgangsmåte, så jeg legger fram det jeg gjorde;

$a^2+b^2=c^2+d^2 \Longrightarrow (a-c)(a+c) = (d-b)(d+b)$
Problemet reduseres da til å finne det minste tallet som kan faktoriseres på to forskjellige måter, der de to faktorene er distinkte, slik at differansen mellom de to faktorene er et partall. Her telles $a \cdot 1 = a$ som en faktorisering, men differansen $a-1$ må da være partall som nevnt over. Går vi oppover de naturlige tallene finner vi at $15$ er det første tallet som tilfredsiller kravene; $15 \cdot 1 = 15$ og $3 \cdot 5 = 15$.

Videre er det bare å sette inn i det faktoriserte uttrykket for å finne verdiene; $a=8$, $c=7$, $d=4$ og $b=1$, slik at $abcd= 224$.

Hvordan løste du den Gustav?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 4 gjester