matematikk.net

$(1)$ Fire positive heltall $a,b,c,d$ er alle ulike, og tilfredstiller $a^2+b^2=c^2+d^2$. Bestem den minste verdien $abcd$ kan ha.
Hint:

[+] Skjult tekst

En mulig fremgangsmåte er å flytte over noen av leddene på hver side, slik at du kan faktorisere med en av de tre kvadratsetningene, og problemet reduseres da til noe langt lettere.

$(2)$ To tall $x,y \in \mathbb{R}$ er slik at $x^2+y^2+xy=229$ og $xy+x+y=77$. Bestem verdien av $(x-y)^2$.

Edit: la til hint på $(1)$.

(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].

Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].

Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].

Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.

EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].

alund skrev:(2)
Legger sammen likningene
[tex]x^2+y^2+2xy+x+y=229+77[/tex]
[tex](x+y)(x+y+1)=306=18\cdot 17[/tex],
som gir [tex]x+y=17\: \lor \: x+y=-18[/tex].

Ved andre likning er [tex]xy=77-(x+y)[/tex], som gir henholdsvis [tex]xy=60\: \lor \: xy=95[/tex].

Første likning kan omskrives til [tex](x-y)^2=229-3xy[/tex], som gir [tex](x-y)^2=49\: \lor \: (x-y)^2=-56[/tex].

Men siden [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex], kan ikke [tex]x-y[/tex] være komplekst. 49 står igjen som eneste svar.

EDIT: Kommenterte negativt kvadrat, glemte at [tex]x,y\in\mathbb{R}[/tex].

Det er helt korrekt! Fra en tidligere runde 2 i Abel. Tar du den andre og?

abcd[tex]_{min}[/tex] = 1 * 8 * 4 * 7 = 224

Det var noe kjent med oppgave 1. Har løst den for en stund siden. Gammelt Abelproblem det også?

Gustav skrev:Det var noe kjent med oppgave 1. Har løst den for en stund siden. Gammelt Abelproblem det også?

Jepp, men ikke for så veldig lenge siden; siste oppgave runde 2 2014/15.

Ser gjest har gitt rett svar uten fremgangsmåte, så jeg legger fram det jeg gjorde;

$a^2+b^2=c^2+d^2 \Longrightarrow (a-c)(a+c) = (d-b)(d+b)$
Problemet reduseres da til å finne det minste tallet som kan faktoriseres på to forskjellige måter, der de to faktorene er distinkte, slik at differansen mellom de to faktorene er et partall. Her telles $a \cdot 1 = a$ som en faktorisering, men differansen $a-1$ må da være partall som nevnt over. Går vi oppover de naturlige tallene finner vi at $15$ er det første tallet som tilfredsiller kravene; $15 \cdot 1 = 15$ og $3 \cdot 5 = 15$.

Videre er det bare å sette inn i det faktoriserte uttrykket for å finne verdiene; $a=8$, $c=7$, $d=4$ og $b=1$, slik at $abcd= 224$.

Hvordan løste du den Gustav?