matematikk.net

Evaluer [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2} \right )[/tex]

Edit: så jeg skrev grensen når x går mot uendelig, liten derp der.

Kay skrev:Evaluer [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2} \right )[/tex]

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2 + i^2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} = \int_0^1\frac{1}{1+x^2} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}.$$

DennisChristensen skrev:

Kay skrev:Evaluer [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2} \right )[/tex]

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2 + i^2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} = \int_0^1\frac{1}{1+x^2} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}.$$

Rent og pent løst, rimelig planke det der tenker jeg, hva med en liten oppfølger?

Evaluer nesten samme greia, men uten å bruke Riemann-summen [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{n+n} \right )[/tex]

Kay skrev:

DennisChristensen skrev:

Kay skrev:Evaluer [tex]\lim_{x\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2} \right )[/tex]

Vi kan skrive summen som et Riemann-integral:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots + \frac{n}{n^2+n^2}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2 + i^2} = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} = \int_0^1\frac{1}{1+x^2} = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4}.$$

Rent og pent løst, rimelig planke det der tenker jeg, hva med en liten oppfølger?

Evaluer nesten samme greia, men uten å bruke Riemann-summen [tex]\lim_{n\rightarrow \infty}\left (\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{n+n} \right )[/tex]

La $$s_n = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots + \frac{1}{n+n}.$$

Definér $$\gamma_n = 1 + \frac12 + \dots + \frac1n - \log n = H_n - \log n.$$ Integraltesten viser at $\gamma_n$ konvergerer (dens grenseverdi kalles Eulers konstant). Dermed får vi:

$$s_n = H_{2n} - H_n = \left(\gamma_{2n} + \log (2n)\right) - \left(\gamma_n + \log n\right) = \log 2 + \gamma_{2n} - \gamma_n \rightarrow \log 2.$$

Alternativt: (Bruk samme notasjon som Dennis). Vi har $s_{n+1}-s_n=\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+2}$, som ved induksjon gir
\[ s_n=\sum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}.\]
Da er vi omtrent ferdige siden Maclaurinrekka til $\log(1+x)$ er
\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}x^k}{k}. \]

Fine løsninger fra begge to!