Side 1 av 1

Tall

Lagt inn: 30/01-2018 05:53
av Gustav
Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 10:52
av Mattebruker
Talet n kan skrivast på forma

n = 100x + 10y + 2 ( siste sifferet må vere lik 2 )

x = 0 ( tosiffra tal ) gir inga løysing.

Prøver med x = 1 og let y variere frå 0 til 9. Får "match" på y = 9

Svar: Minste tal n = 192

P.S. Dette er neppe den mest elegante løysinga.

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 11:15
av Mattebruker
Problemet kan truleg løysast som ei diofantisk likning:

n[tex]^3[/tex] - 888 = 1000k som er ekvivalent med at

n[tex]^3[/tex] = 1000k + 888 = (2*5)[tex]^3[/tex] * k + 2[tex]^3[/tex] * 3 * 37 , k element i Z.

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 13:03
av Mattebruker
Viser til førre innlegg .

n[tex]^3[/tex] = 2[tex]^3[/tex](125k + 111 ).

Oppgåva blir da å bestemme det minste heiltalet k som er slik at

125k + 111 er eit kubikktal.

Mine kunnskapar i talteori strekk ikkje til for å løyse dette problemet. Difor let eg utfordringa gå vidare til deg som meistrar denne delen av matematikken.

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 17:06
av Janhaa
Gustav skrev:Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.
[tex]n^3 \equiv 888 \pmod{1000}[/tex]
dvs
[tex]n \equiv 192 \pmod{250}[/tex]
altså minste
[tex]n = 192[/tex]
der
[tex]192^3=7077888[/tex]

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 17:16
av Gustav
192 er riktig!

Re: Tall

Lagt inn: 30/01-2018 18:51
av Mattebruker
Løysinga til Janhaa fanga interessa. Første steget

n[tex]^3[/tex] kongruensteikn 888 (mod 1000 ) er trivielt. OK !

Men eg skjønar ikkje overgangen til steg 2:

n kongruensteikn 192 ( mod 250 )

Kan Janhaa gjere vel å forklare resonnementet som ligg til grunn for denne slutninga ?