Side 1 av 1
Tall
Lagt inn: 30/01-2018 05:53
av Gustav
Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 10:52
av Mattebruker
Talet n kan skrivast på forma
n = 100x + 10y + 2 ( siste sifferet må vere lik 2 )
x = 0 ( tosiffra tal ) gir inga løysing.
Prøver med x = 1 og let y variere frå 0 til 9. Får "match" på y = 9
Svar: Minste tal n = 192
P.S. Dette er neppe den mest elegante løysinga.
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 11:15
av Mattebruker
Problemet kan truleg løysast som ei diofantisk likning:
n[tex]^3[/tex] - 888 = 1000k som er ekvivalent med at
n[tex]^3[/tex] = 1000k + 888 = (2*5)[tex]^3[/tex] * k + 2[tex]^3[/tex] * 3 * 37 , k element i Z.
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 13:03
av Mattebruker
Viser til førre innlegg .
n[tex]^3[/tex] = 2[tex]^3[/tex](125k + 111 ).
Oppgåva blir da å bestemme det minste heiltalet k som er slik at
125k + 111 er eit kubikktal.
Mine kunnskapar i talteori strekk ikkje til for å løyse dette problemet. Difor let eg utfordringa gå vidare til deg som meistrar denne delen av matematikken.
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 17:06
av Janhaa
Gustav skrev:Bestem det minste positive heltallet $n$ slik at $n^3$ ender på sifrene $...888$.
[tex]n^3 \equiv 888 \pmod{1000}[/tex]
dvs
[tex]n \equiv 192 \pmod{250}[/tex]
altså minste
[tex]n = 192[/tex]
der
[tex]192^3=7077888[/tex]
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 17:16
av Gustav
192 er riktig!
Re: Tall
Lagt inn: 30/01-2018 18:51
av Mattebruker
Løysinga til Janhaa fanga interessa. Første steget
n[tex]^3[/tex] kongruensteikn 888 (mod 1000 ) er trivielt. OK !
Men eg skjønar ikkje overgangen til steg 2:
n kongruensteikn 192 ( mod 250 )
Kan Janhaa gjere vel å forklare resonnementet som ligg til grunn for denne slutninga ?