Re: Minimum
Lagt inn: 07/02-2018 19:01
EDIT:Slettet feilaktig bevis.stensrud skrev: 4) For $x,y\ge 0$, vis at
\[2^x+2^y>xy\]
EDIT:Slettet feilaktig bevis.stensrud skrev: 4) For $x,y\ge 0$, vis at
\[2^x+2^y>xy\]
Hvorfor er de ikke symmetriske?Gustav skrev:Muirhead krever vel symmetriske summer, mens i ulikheten er summene syklisk, eller er det noe jeg har misforstått?stensrud skrev:Den andre følger direkte av Muirheads ulikhet siden $(5,0,0,0)\succ (2,1,1,1)$; alternativt kan man bruke AM-GM.Markus skrev: $(2) \enspace$ La $a,b,c,d \in \mathbb{R}^+$. Vis at $$a^5+b^5+c^5+d^5 \geq abcd(a+b+c+d)$$
Denne fungerer vel ikke med Muirhead, eller gjør den det på noe vis? Jeg tenker at summene her ikke er symmetriske...
\[a^4b+b^4c+c^4d+d^4a\geq abcd(a+b+c+d).\]
Flott! Alternativt kan man bruke Jensen direkte:Gustav skrev:Definér $f(x)=\ln (1-x^n)$ som er konkav for $x\in (0,1)$. AM-GM+Jensen gir da atstensrud skrev:
1) Let $n$ be positive integer and let $a-1,a_2,\dotsc,a_n$ be real numbers satisfying $0\leq a_i\leq 1$ for $i=1,2,\dotsc,n$. Prove the inequality
\[ (1-a_1^n)(1-a_2^n)\dotsb(1-a_n^n)\leq (1-a_1a_2\dotsb a_n)^n. \]
$\ln(1-a_1a_2...a_n)\geq \ln (1-(\frac1n(a_1+a_2+...+a_n))^n) \geq \frac1n (\ln(1-a_1^n)+\ln(1-a_2^n)+...+\ln(1-a_n^n))$, som er ekvivalent med ulikheten.
Ulikheten er riktig hvis enten $x=0$ eller $y=0$ så anta videre at $x,y>0$.stensrud skrev:
4) For $x,y\ge 0$, vis at
\[2^x+2^y>xy\]
stensrud skrev: (Anta $a_i\neq 0,1$). Vi innfører funksjonen $f(x)=\log(1-e^x)$ som er konkav over $\mathbb{R}^-$. Ifølge Jensens ulikhet er da
\[ \sum f(\log a_i^n)\leq n \cdot f\left(\frac{\sum \log a_i^n}{n}\right), \]som var ulikheten vi skulle vise.