Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Mattegjest skrev:
Difor lurer eg på om der er ein skrivefeil i oppgaveteksta: Kunne vere freistande å skrive > 3 i staden for >= rota av ( 3 ) på H. S. Elles reagerer eg på første leddet (c[tex]^2[/tex]) under siste rotteiknet på V. S. For å bevare
symmetrien i uttrykket må første leddet vere a[tex]^2[/tex], eller ......... ?
Jeg lurte også på det samme. Det hadde gitt mer mening om venstresida skulle vises å være strengt større enn 3. Håper mingjun kan oppklare saken.
Beklager for feilen. Ulikheten skulle altså være:
Gitt at positive tall a,b,c som oppfyller $a+b+c=3$, vis at \[ \sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2} \geq 3\sqrt{3}.\]
Denne følger vel direkte fra Rearrangement-ulikheten siden vi wlog kan anta at $a \geq b \geq c$, eventuelt AM-GM på $a^2+b^2$, $b^2+c^2$ og $a^2+c^2$, men jeg mener vi har vist dette tidligere i tråden? Absoluttverditegnet gjør vel ingen forskjell fra om ulikheten hadde vært $xy+yz+zx \leq x^2 +y^2+z^2$? Ulikheten er jo også for så vidt $t=0$-casen av Schurs ulikhet.
Oppfølger
La $a,b,p,q \in \mathbb{R}^+$, slik at $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$. Vis at $$\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} \geq ab$$
Denne følger vel direkte fra Rearrangement-ulikheten siden vi wlog kan anta at $a \geq b \geq c$, eventuelt AM-GM på $a^2+b^2$, $b^2+c^2$ og $a^2+c^2$, men jeg mener vi har vist dette tidligere i tråden? Absoluttverditegnet gjør vel ingen forskjell fra om ulikheten hadde vært $xy+yz+zx \leq x^2 +y^2+z^2$?
Ulikheten gjelder for alle reelle tall, også negative.. AM-GM gjelder kun for ikkenegative.
Denne følger vel direkte fra Rearrangement-ulikheten siden vi wlog kan anta at $a \geq b \geq c$, eventuelt AM-GM på $a^2+b^2$, $b^2+c^2$ og $a^2+c^2$, men jeg mener vi har vist dette tidligere i tråden? Absoluttverditegnet gjør vel ingen forskjell fra om ulikheten hadde vært $xy+yz+zx \leq x^2 +y^2+z^2$?
Ulikheten gjelder for alle reelle tall, også negative.. AM-GM gjelder kun for ikkenegative.
Selvfølgelig! Men rearrangement-ulikheten vil være gyldig i dette tilfellet?
Og siden $|xy + yz + zx|$ sitt maksimum er når fortegnet er likt på alle leddene, kan en ikke bruke AM-GM på antakelsen at $x,y,z$ er positive, og deretter argumentere for at $|xy+yz+zx|$, med $x,y,z \in \mathbb{R}$ sitt maksimum er likt det maksimumet $xy+yz+zx$ har gitt $x,y,z \in \mathbb{R}_{\geq 0}$? Kvadratene er jo positive uansett. Ble litt rotete, men håper du forstår hva jeg mener.