Hint : WLOG anta at $a_1$ er minst og $a_2$ størst. Bruk Cauchy-Schwarz påMarkus skrev:Jeg mistenker at problemet, i likhet med mye annet, kan også løses på en annen måte. Med for eksempel Cauchy-Schwarz kan vi også finne en nedre grense for uttrykket; $(n+\frac12)^2 \geq \left (\sum_{i=1}^n a_i \right) \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right) \geq n^2$ Den øvre og nedre grensen er så nærme hverandre, at jeg nesten tror det er med vilje, men jeg ser ikke helt veien videre herifra. Hvis noen vil hjelpe til eller gi hint settes det stor pris på!
Forresten, zzzivert, hvorfor kan du av homogenitet anta at $a_1=\frac12$?
$$ \left [ (a_1+a_2)+a_3+\cdots + a_n\right ]\left [(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2})+\frac{1}{a_3}+\cdots +\frac{1}{a_n}\right ]$$
Angående det siste spørsmålet: Siden ulikheten er homogen er den ekvivalent med om du multipliserer alle $a_i$ med en skalar $k$, dermed kan du WLOG anta at $a_1=\frac12$ (velg $k=\frac{1}{2a_1}$).