Gustav skrev:Oppfølger: For positive reelle $a,b,c$ slik at $12\ge 21ab+2bc+8ca$, vis at
$\frac1a+\frac2b+\frac3c\le \frac{15}{2}$
Jeg antar at du mener
$\frac1a+\frac2b+\frac3c\ge \frac{15}{2}$
siden $a\rightarrow 0$ er et moteksempel.
Dessuten holder det å se på verdier der
$12= 21ab+2bc+8ca$
da mindre verdier av $a,b,c$ gir høyere verdier av $\frac1a+\frac2b+\frac3c$.
Vi starter med substitusjonen
$a=\frac{1}{3}x, \ b=\frac{4}{5}y, \ c=\frac{3}{2}z$
Etter forenklinger lyder oppgaven:
Vis at
$6yz+5xz+4xy\ge 15xyz$
når:
$3yz+5xz+7xy=15$
Fra AM-GM (vektet) har vi:
[tex]1=(\frac{3yz+5xz+7xy}{15})^{15}\ge x^{12}y^{10}z^{8}[/tex]
og
[tex]S=(\frac{6yz+5xz+4xy}{15})^{15}\ge x^{9}y^{10}z^{11}[/tex]
som gir:
[tex]1\cdot S^2\ge x^{12}y^{10}z^{8}\cdot x^{18}y^{20}z^{22}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow S^2\ge x^{30}y^{30}z^{30}[/tex]
$\Leftrightarrow 6yz+5xz+4xy\ge 15xyz$