Ulikhetmaraton

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Mattegjest » 15/06-2018 14:34

Vedk. ulikskapen
rota av(a/( b + c ) ) +...... o.s.v. > 2


Betraktar første leddet( samanliknar V.S. og H.S.): rota av (a/( b + c ) ) = a/rota av(a (b + c ) ) >= 2a/(a + b + c )

Her har vi likheit( V.S. = H.S. ) berre når a = ( b + c )

2. leddet: V.S. = H.S. berre når b = ( a + c )

3. leddet: V.S. = H.S. berre når c = ( a + b )


Konklusjon: Det fins ingen taltrippel {a , b , c } som oppfyller alle tre krava samtidig. Difor ekte ulikheit !
Mattegjest offline

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg zzzivert » 15/06-2018 15:51

Helt riktig.
En annen måte å løse oppgaven på er ved å gjøre substitusjonen
$a=x+y, \ b=y+z, \ c=z+x$ (se figur under).
Som gir ulikheten:
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\ge 6$
$\Leftrightarrow (\sqrt{\frac{x}{y}}-\sqrt{\frac{y}{x}})^2+(\sqrt{\frac{y}{z}}-\sqrt{\frac{z}{y}})^2+(\sqrt{\frac{z}{x}}-\sqrt{\frac{x}{z}})^2\ge 0$
Vedlegg
Capture.PNG
Capture.PNG (18.71 KiB) Vist 2401 ganger
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Mattegjest » 15/06-2018 16:03

Her kombinerer zzzivert algebra og geometri. Kreativ og original løysing .
Mattegjest offline

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Markus » 17/06-2018 22:37

Eventuelt, gjør samme substitusjon som zzzivert gjorde, og da følger ulikheten direkte ved AM-GM. Oppfølger, siden dere glemte:
For $n \in \mathbb{N}$, vis at $$\left(\frac12 + \frac23 + \dots + \frac{n}{n+1} \right)^n > \frac{n^n}{n+1}$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Mattegjest » 18/06-2018 08:50

Skrivefeil ? V.S. = H.S. når n = 1 !

Da ser vi at ulikskapen følgjer direkte av AM-GM .


Oppfølgar: La a , b , c , d og e vere reelle tal. Vis at


a[tex]^2[/tex] + b[tex]^2[/tex] + c[tex]^2[/tex] + d[tex]^2[/tex] + e[tex]^2[/tex] >= a( b + c + d + e )


Kva samanheng er det mellom a , b , c , d og e når V.S. = H. S. ?
Mattegjest offline

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg mingjun » 18/06-2018 22:07

\[ a^2+4\dfrac{b^2+c^2+d^2+e^2}{4}\geq a^2+ 4 \left( \dfrac{b+c+d+e}{4} \right)^2 = a^2+\dfrac{\left(b+c+d+e\right)^2}{4} \geq 2\sqrt{a^2\dfrac{\left(b+c+d+e\right)^2}{4}}=a(b+c+d+e)\]

Den første ulikheten følger av QM-AM, mens den andre er AM-GM. Likhet oppfylles når $b=c=d=e$ og $a=b+c+d+e$.

Oppfølger: Variablene $a_1,a_2,...,a_n$ og konstantene $t_1,t_2,...,t_n$ er positive reele tall slik at $\sum_{i=1}^n a_i=1$ og $\sum_{i=1}^n t_i=1$. Bestem den maksimale verdien av ${a_1}^{t_1}{a_2}^{t_2}{a_3}^{t_3}\cdots{a_n}^{t_n}$ uttrykt ved $t_i$
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Mattegjest » 19/06-2018 08:59

Full kontroll med " verktøyet " !

Alternativ løysing: ( a/2 - b )[tex]^2[/tex] >= 0 , og likeeins for c , d og e .
Mattegjest offline

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Mattegjest » 19/06-2018 10:00

Spørsmål til mingjun :

Skal det vere Sum( a[tex]_i[/tex] , i , 1 , n ) = 1 eller Sum (a[tex]_i[/tex][tex]^2[/tex] , i , 1 , n ) = 1 ?
Mattegjest offline

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg zzzivert » 19/06-2018 13:45

La [tex]b_i[/tex] være slik at [tex]a_i=t_i\cdot b_i[/tex].
Da har vi fra vektet AM-GM:
[tex]1=\sum_{i=1}^{n}t_i b_i\ge \prod_{i=1}^{n}b_i^{t_i}[/tex]
Der [tex]\prod[/tex] er produktsymbolet.
Dette gir at:
[tex]\prod_{i=1}^{n}a_i^{t_i}=\prod_{i=1}^{n}(t_i b_i)^{t_i} \\
=\prod_{i=1}^{n}t_i^{t_i}\cdot \prod_{i=1}^{n}b_i^{t_i} \le \prod_{i=1}^{n}t_i^{t_i}[/tex]
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg zzzivert » 19/06-2018 13:52

Oppfølger:

La [tex]x,y,z\ge 0[/tex]. Vis at:
[tex]x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y[/tex]
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg Markus » 24/06-2018 20:56

zzzivert skrev:Oppfølger:

La [tex]x,y,z\ge 0[/tex]. Vis at:
[tex]x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2y+x^2z+y^2x+y^2z+z^2x+z^2y[/tex]

Schurs ulikhet med $t=1$ gir $$x(x-z)(x-z) + y(y-x)(y-z) + z(z-x)(z-y) \geq 0 \\ \therefore x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+x^2z+y^2x +y^2z+z^2x+z^2y$$ Som skulle vises.

Oppfølger:
La $\alpha, \beta, \gamma$ være vinklene i en vilkårlig trekant. Vis at $$\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) + \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) + \sin \left( \frac{\gamma}{2} \right) > 1$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg mingjun » 25/06-2018 12:47

Markus skrev:Oppfølger:
La $\alpha, \beta, \gamma$ være vinklene i en vilkårlig trekant. Vis at $$\sin \left( \frac{\alpha}{2} \right) + \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) + \sin \left( \frac{\gamma}{2} \right) > 1$$


På grunn av at $\sin(x)$ er konkav for $x\in<0,\pi/2>$, oppfylles ulikheten $\sin(a)+\sin(b)>\sin(a+\epsilon)+\sin(b-\epsilon)$ så lenge $a>b$ og alle verdiene $a,b,a+\epsilon,b-\epsilon$ holder seg innenfor $<0,\pi/2>$.

Dermed kan vi anta at $\alpha\geq\beta\geq\gamma$, og ved ulikheten beskrevet ovenfor oppdager vi at vi kan minimere summen ved å la $\alpha \rightarrow \pi$ og $\beta \rightarrow 0 , \gamma \rightarrow 0$. Det gir oss det ønskede resultatet.
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg mingjun » 25/06-2018 12:51

Oppfølger:

For $a,b,c \ge 0$, bevis at \[ \frac{2}{3}(a^2+b^2+c^2)^2 \ge a^3(b+c) + b^3(c+a) + c^3(a+b).\]
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg zzzivert » 25/06-2018 15:18

I forrige ulikhet kan man også observere at:
[tex]\sin(x)>\frac{2}{\pi}x[/tex] når [tex]x\in (0,\frac{\pi}{2})[/tex].
Derfor får vi
[tex]\sin(\frac{\alpha}{2})+\sin(\frac{\beta}{2})+\sin(\frac{\gamma}{2})
>\frac{2}{\pi}\frac{\alpha}{2}+\frac{2}{\pi}\frac{\beta}{2}+\frac{2}{\pi}\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{\pi}(\alpha+\beta+\gamma)=1[/tex]

I denne ulikheten er ulikheten ekvivalent med
[tex]\frac{1}{4}((a-b)^4+(b-c)^4+(c-a)^4)+\frac{1}{12}((a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2)\ge 0[/tex].
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Ulikhetmaraton

Innlegg zzzivert » 25/06-2018 15:35

Oppfølgere:
Middels:
La [tex]a,b,c\ge 0[/tex] slik at
[tex](a+1)(b+1)(c+1)=8[/tex].
Vis at [tex]abc\le 1[/tex].

Vanskelig:
La [tex]x,y\in \mathbb{R}[/tex] slik at
[tex]x^3+y^3+\frac{x+y}{4}=\frac{15}{2}[/tex].
Vis at [tex]x+y\le 3[/tex].
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 44
Registrert: 27/10-2014 09:26

ForrigeNeste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 5 gjester