Nok en ulikhet

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Nok en ulikhet

Innlegg Gustav » 02/03-2018 00:12

For parvis distinkte ikkenegative reelle tall $a,b,c$, vis at

$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2$
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Nok en ulikhet

Innlegg zzzivert » 13/04-2018 22:11

Av symmetri kan vi anta at [tex]a[/tex] er minst. Observer at venstresiden minimeres når [tex]a=0[/tex], siden den første brøken blir [tex]0[/tex], og de andre får større nevner.
Derfor blir ulikheten
[tex]\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2} \geq \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}=(\frac{b}{c}-\frac{c}{b})^2+2>2[/tex]
Vi har ikke likhet siden [tex]b\neq c[/tex].
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 47
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Nok en ulikhet

Innlegg Gustav » 18/04-2018 08:59

zzzivert skrev:Av symmetri kan vi anta at [tex]a[/tex] er minst. Observer at venstresiden minimeres når [tex]a=0[/tex], siden den første brøken blir [tex]0[/tex], og de andre får større nevner.
Derfor blir ulikheten
[tex]\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2} \geq \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}=(\frac{b}{c}-\frac{c}{b})^2+2>2[/tex]
Vi har ikke likhet siden [tex]b\neq c[/tex].


Elegant!
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4302
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester