matematikk.net

For parvis distinkte ikkenegative reelle tall $a,b,c$, vis at

$\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(b-a)^2}>2$

Av symmetri kan vi anta at [tex]a[/tex] er minst. Observer at venstresiden minimeres når [tex]a=0[/tex], siden den første brøken blir [tex]0[/tex], og de andre får større nevner.
Derfor blir ulikheten
[tex]\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2} \geq \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}=(\frac{b}{c}-\frac{c}{b})^2+2>2[/tex]
Vi har ikke likhet siden [tex]b\neq c[/tex].

zzzivert skrev:Av symmetri kan vi anta at [tex]a[/tex] er minst. Observer at venstresiden minimeres når [tex]a=0[/tex], siden den første brøken blir [tex]0[/tex], og de andre får større nevner.
Derfor blir ulikheten
[tex]\frac{a^2}{(b-c)^2}+\frac{b^2}{(c-a)^2}+\frac{c^2}{(a-b)^2} \geq \frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{b^2}=(\frac{b}{c}-\frac{c}{b})^2+2>2[/tex]
Vi har ikke likhet siden [tex]b\neq c[/tex].

Elegant!