Nøtt: Grenseverdi

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Nøtt: Grenseverdi

Innlegg stensrud » 18/04-2018 18:44

For $n\in \mathbb{N}$, definer
\[ f(n):=e^{-n}\int_0^n\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}\mathop{dx}. \]
Finn grenseverdien $ \lim_{n\to \infty}f(n)$.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Nøtt: Grenseverdi

Innlegg stensrud » 20/04-2018 21:51

Hint:
\[ e^n=\sum_{x=0}^\infty \frac{n^x}{\Gamma(x+1)}. \]
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Nøtt: Grenseverdi

Innlegg zzzivert » 21/04-2018 14:00

Observer at integranden er stigende da [tex]n^x[/tex] vokser raskere* enn [tex]\Gamma(x+1)[/tex] på interallet [tex][0,n][/tex].
Derfor har vi
[tex]g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n)[/tex]
Siden [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1[/tex], følger det at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} f(n)=1[/tex].
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 45
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Nøtt: Grenseverdi

Innlegg stensrud » 21/04-2018 22:03

zzzivert skrev:Observer at integranden er stigende da [tex]n^x[/tex] vokser raskere* enn [tex]\Gamma(x+1)[/tex] på interallet [tex][0,n][/tex].
Derfor har vi
[tex]g(n)=e^{-n}\sum_{x=0}^{n-1}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}<f(n)<e^{-n}\sum_{x=1}^{n}\frac{n^x}{\Gamma(x+1)}=h(n)[/tex]
Siden [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} g(n)=\lim_{n\rightarrow\infty} h(n)=1[/tex], følger det at [tex]\lim_{n\rightarrow\infty} f(n)=1[/tex].

Det er ikke noe feil med den første delen, men det er ikke sant at $g,h\to 1$.
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Re: Nøtt: Grenseverdi

Innlegg zzzivert » 23/04-2018 15:14

Hmmm. Prøver på nytt.

[tex]g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!}[/tex]. Dette er en CDF (opp til [tex]k=n=\lambda[/tex]) av Poisson-fordelingen med [tex]\lambda=n[/tex].
Siden Poisson-fordelingen har median [tex]n[/tex], går summen mot [tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2}[/tex]

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution
zzzivert offline
Noether
Noether
Innlegg: 45
Registrert: 27/10-2014 09:26

Re: Nøtt: Grenseverdi

Innlegg stensrud » 23/04-2018 15:35

zzzivert skrev:Hmmm. Prøver på nytt.

[tex]g, h \rightarrow \sum_{x=0}^{n}\frac{n^xe^{-n}}{n!}[/tex]. Dette er en CDF (opp til [tex]k=n=\lambda[/tex]) av Poisson-fordelingen med [tex]\lambda=n[/tex].
Siden Poisson-fordelingen har median [tex]n[/tex], går summen mot [tex]\frac{1}{2}[/tex].
[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)=\frac{1}{2}[/tex]

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution

Jepp! Nå kan godt hende jeg tar feil, men er ikke medianen til Poisson-fordelingen med parameter $\lambda$ bare cirka lik $\lambda$, og ikke nøyaktig lik? Uansett så burde det vel gå fint ettersom vi ganger det hele med $e^{-n}$.

Selv brukte jeg sentralgrenseteoremet: Hvis $X_1,X_2,\dotsc,X_n$ er uavhengige $\rm{Pois}(1)$-variabler så er $Y:=X_1+X_2+\dotsb+X_n\sim\rm{Pois}(n)$. Da følger det av CLT at
\[ \mathbb{P}(Y\leq n)=\mathbb{P}\left(\frac{Y-n}{\sqrt{n}}\leq 0\right)\to \Phi(0) =\frac{1}{2}.\]
stensrud offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 438
Registrert: 08/11-2014 21:13
Bosted: Cambridge

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester