Areal mellom sirkler

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Areal mellom sirkler

Innlegg MatIsa » 28/06-2018 17:48

Finn arealet av det skraverte området i figuren under:
Figur.png
Figur.png (40.45 KiB) Vist 1066 ganger
MatIsa offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 150
Registrert: 12/06-2013 11:09
Bosted: Trondheim

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Gjest » 29/06-2018 06:17

Dette er sikkert en veldig tungvint måte å gjøre det på men men

Sentrum av den lille sirkelen er $S_2 = (0.5, 0.5)$

Sirkellikningen for de to sirklene er:

$S_1 : x^2 + y^2 = 1$
$S_2 : (x-0.5)^2 + (y-0.5)^2 = 0.5^2$

Disse skjærer hverandre i $x = y = \frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} \Rightarrow$ punktene $(0.294, 0.956)$ og $(0.956, 0.294)$

Avstanden mellom de to skjæringspunktene danner en felles korde for både den store og lille sirkelen. Arealet av sirkelsegmentet til den lille minus areal av sirkelsegmentet til den store utgjør det skraverte området.

Formelen for areal av sirkelsegment er $A = \frac{r^2}{2} (\theta - sin(\theta))$

Først må man finne sirklenes sentralvinkler. For dette kan man bruke formelen $cos (\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ eller enda enklere, Pytagoras. For Pytagoras setter man hypotenusen lik radiusen fra det ene skjæringspunktet til de to sentrene. Dermed blir halve korden lik den ene kateten og en del av radiusen, som halverer den fulle vinkelen, danner det andre katetet (Utnytter symmetri).

Korden har en lengde: $\sqrt{(0.956-0.294)^2+(0.294-0.956)^2}=0.935$ Halve korden blir $0.935/2 = 0.468$

For den lille sirkelen er dermed $sin \left(\frac{\theta_2}{2}\right) = \frac{0.468}{0.5} \Rightarrow \theta_2 = 2.42$
Og for den store sirkelen er $\theta_1 = 2 sin \left(\frac{0.468}{1} \right)^{-1} = 0.97$

Dermed har vi alt som trengs for å regne ut arealet.
$A_2-A_1 = \frac{0.5^2}{2}(2.42-sin(2.42))-\left(\frac{1^2}{2}(0.97-sin(0.97)\right) = 0.147$
Det endelige arealet av det skraverte området er altså rundt 0.147.
Gjest offline

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Panne » 29/06-2018 20:53

Man kan bruke areal under parametriserte kurver!
Panne offline

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg viking » 02/07-2018 08:53

Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638
viking offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 165
Registrert: 19/10-2012 01:54

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Gjest » 02/07-2018 14:39

viking skrev:Integralet for arealet kan skrives rett ned, så den delen er enklere, men integreringen tar litt tid.

[tex]A=2\int_{0}^{\sqrt{7/32}}\frac{1}{2}\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}} dx[/tex]

[tex]=\frac{1}{8}\left [ \sqrt{7}-8sin^{-1}\left \lfloor \sqrt{\frac{7}{32}} \right \rfloor +2tan^{-1}(\sqrt{7})\right ][/tex] = 0.14638


Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene? Egentlig hadde jeg satt veldig pris på om du fortalte hva du tenkte for å løse det så elegant.
Gjest offline

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg Mattegjest » 02/07-2018 16:56

Alternativ ( geometrisk ) løysing :

Segment ( liten sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 ) ) * 0.5[tex]^2[/tex] - rota av ( 7 )/32 = 0.21967


Segment (stor sirkel ) = tan[tex]^{-1}[/tex](rota av ( 7 )/5 ) * 1[tex]^2[/tex] - 5 * rota av ( 7 ) /32 = 0.07329


Areal ( skravert område ) = Segment( liten sirkel ) - Segment ( stor sirkel ) = 0.21967 - 0.07329 = 0.14368
Mattegjest offline

Re: Areal mellom sirkler

Innlegg viking » 02/07-2018 17:32

Gjest skrev:Hvordan kom du frem til det første leddet og integreringsgrensene?



Den lille sirkelen er [tex]\frac{1}{2}\sqrt{2}[/tex] vekk fra senter. Flyttet den til y-aksen, og brukte symmetri til å skrive integralet [tex]2\int_{0}^{}[/tex].
viking offline
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 165
Registrert: 19/10-2012 01:54

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 10 gjester