Side 1 av 1

Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 14/07-2018 22:42
Markus
La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 15/07-2018 19:33
Kay
Markus skrev:La $\theta$ være gitt i radianer, der $\theta \neq 2k\pi, \enspace k \in \mathbb{Z}$. Finn da summen av rekken $$\sin(0\theta)+\sin(1 \theta) + \sin(2 \theta) + \dots + \sin(n\theta)$$


Regner med at det finnes elegante måter å løse dette på, men gjør et forsøk:

[tex]\sum_{k=0}^n\sin(k\theta)=\Im\left (\sum_{k=0}^n(e^{i\theta})^k \right )[/tex]

Her sier du at [tex]\theta[/tex] ikke er et multiplum av [tex]2k\pi[/tex] Ergo er dette geometrisk, og da er det ganske planke å gå fram, men uttrykket blir noe stygt

Da får vi med litt mellomregning [tex]\Im\left ( \frac{1-\cos((n+1)\theta)-i\sin((n+1)\theta)}{1-cos(\theta)-i\sin(\theta)} \right )[/tex]

Nå ønsker vi vel helst reelle tall og da får vi [tex]\frac{1-\cos((n+1)\theta)\sin(\theta)-\sin((n+1)\theta)(1-\cos(\theta))}{2(1-\cos(\theta))}=\frac{\sin(n\theta)-\sin((n+1)\theta)+1}{2(1-\cos(\theta))}[/tex]


Edit: Alt dette følger naturligvis fra Eulers formel [tex]e^{ik\theta}=\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)[/tex]

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 15/07-2018 21:23
Markus
Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 18/07-2018 15:26
Kay
Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 18/07-2018 17:05
Markus
Kay skrev:
Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.


Tror jeg ser hva du tenker - tenker du å splitte opp hvert ledd i rekkene med sumformelen $\sin(u\pm v)$? Veldig smart tenkt, må nesten prøve det selv og. Sikkert flere måter å løse trig. identiteten på, men hvis du står fast er et hint i spoileren.

[+] Skjult tekst
de Moivres formel

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 20/07-2018 19:06
Kay
Markus skrev:
Kay skrev:
Markus skrev:Yes, flott arbeid Kay! Jeg vet ikke om noen mer elegant, og kortere utledning. Kan løses omtrent helt likt med de Moivre. Angående sluttformelen kan den forenkles litt til $\frac{\sin \left ( \frac{n\theta}{2} \right)\sin \left (\frac{n+1}{2}\theta \right )}{\sin \left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Oppfølger i samme gate (gjerne kom med noen du og!);
Vis at $$\cos(5\theta) = \cos^5\theta -10\cos^3 \theta \sin^2 \theta + 5 \cos \theta \sin^4 \theta$$

Edit: så editen din, og har ikke sett om din formel stemmer med den jeg kom fram til, men du har i alle fall tenkt rett!



Skal gjøre et forsøk på den når jeg kommer hjem fra trening,

Ser forresten en mulighet til for den første rekka som jeg kunne ha tenkt meg å prøve også, det omhandler teleskoperende rekker, tror faktisk at det skal gå.


Tror jeg ser hva du tenker - tenker du å splitte opp hvert ledd i rekkene med sumformelen $\sin(u\pm v)$? Veldig smart tenkt, må nesten prøve det selv og. Sikkert flere måter å løse trig. identiteten på, men hvis du står fast er et hint i spoileren.

[+] Skjult tekst
de Moivres formel


Bruker x nå fordi å skrive \theta hundre ganger er en smerte i rævva :lol:

Men altså vi kan observere at [tex]2\sin \left (\frac{x}{2} \right )\sin( kx)=\cos\left ( \frac{(2k-1)x}{2} \right )-\cos\left ( \frac{(2k+1)x}{2} \right )[/tex]

Da kan vi se videre at vi får den teleskoperende summen [tex]2\sin\left ( \frac{x}{2} \right )\sum_{k=1}^n\sin(kx)=\cos\left ( \frac{x}{2} \right )-\cos\left ( \frac{(2n+1)x}{2} \right )=2\sin\left ( \frac{nx}{2} \right )\sin\left ( \frac{(n+1)x}{2} \right )[/tex]

Og da kan vi se at summen alene gir det uttrykket du skrev der oppe, er nesten for lat til å kjøre det inn i tex :lol:

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 21/07-2018 08:02
Markus
Elegant Kay! :D

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 21/07-2018 17:13
Kay
[tex]\cos(5\theta)=e^{i(5\theta)}=(e^{i\theta})^5=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^5=\cos^{5}(\theta)-10\cos^3(\theta)sin^2(\theta)+5\cos(\theta)sin^4(\theta)[/tex]


Hvis vi betraktere de reelle komponentene ^

Oppfølger:

[tex]\lim_{x\rightarrow1}\ (1-x)\tan(\frac{x\pi}{2})[/tex]

Kanskje vi skulle ha lagd en slags trig-maraton for all ting trig i og med at vi har et multiplum andre maraton? :idea:

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 21/07-2018 19:59
Markus
Kay skrev:Oppfølger:

[tex]\lim_{x\rightarrow1}\ (1-x)\tan(\frac{x\pi}{2})[/tex]

Kanskje vi skulle ha lagd en slags trig-maraton for all ting trig i og med at vi har et multiplum andre maraton? :idea:

$\lim_{x \to 1} (1-x)\tan(\frac{x \pi}{2})=\lim_{x\to 1} \frac{1-x}{\frac{1}{\tan(\frac{x\pi}{2})}} \enspace \overset{\text{L’H}}{=} \enspace \lim_{x \to 1} \frac{2\sin^2(\frac{\pi x}{2})}{\pi} = \frac{2}{\pi}$
Der notasjonen $\overset{\text{L’H}}{=}$ er bruk av L’Hôpitals regel. Hvordan løste du den?

Angående det å lage en felles tråd, er ikke det en dårlig idé. Men vi trenger jo heller samtidig ikke å ha samletråder for alt. Forresten, løste den trig.identiteten likt som deg!

Oppfølger (hvis vanskelig, rop ut for hint); Hva konvergerer følgende produkt mot?
$$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots$$

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 22/07-2018 09:50
Mattegjest
Den repeterande faktoren kan skrivast

a[tex]_m[/tex] = (2m)[tex]^2[/tex]/((2m + 1)(2m - 1 )) = (2m)[tex]^2[/tex]/((2m)[tex]^2[/tex] -1 ), m >= 1


Produket a[tex]_1[/tex] * a[tex]_2[/tex] * ********* a[tex]_n[/tex] når n går mot uendeleg = Pi/2 ( Wallis formel )

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 23/07-2018 07:42
Mattegjest
Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 23/07-2018 19:47
Markus
Mattegjest skrev:Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.

Alternativt, skriv

$L=\lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{1}{\tan(\frac{\pi x}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[(1-x)\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} + \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2} )}\right)^{-1} \right] = \lim_{x \to 1} \left[\frac{1-x}{\left(\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2} )} + \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2} )}\right)} \right]$

La nå $f(x)=\frac{\cos(\frac{2\pi}{x})}{\sin(\frac{2\pi}{x})}$, og observer at $$L^{-1} = -\lim_{x \to 1} \left[\frac{{\frac{\cos(\frac{\pi x}{2})}{\sin(\frac{\pi x}{2})}} - {\frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})}}}{x-1} \right] = -f'(1) = \frac{\pi}{2} \implies L = \frac{2}{\pi}$$

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 23/07-2018 21:28
Mattegjest
Her brukar du definisjonen på den deriverte for å få tak i grenseverdien. Original og kreativ løysing.
Alternativt kan vi bruke grenseverdien ( sin( u )/u = 1 når u går mot 0 ) som vi kjenner frå R2-pensum.

Re: Trigonometrisk rekke

InnleggSkrevet: 24/07-2018 17:30
DennisChristensen
Mattegjest skrev:Oppfølgar:

Vis , utan å bruke L'Hopitals regel , at

(1 - x ) * tan(x * pi/2 ) nærmar seg 2/pi når x går mot 1.


Personlig synes jeg som regel Laurantrekker og binomialteoremet gir de enkleste løsningene på slike grenseverdier:

Vi vet at $$\sin \left(\frac{\pi}{2}x\right) = 1 + O\left((x-1)^2\right),$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) = -\frac{\pi}{2}(x-1) + O\left((x-1)^3\right),$$ så $$\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \frac{1 + O\left((x-1)^2\right)}{-\frac{\pi}{2}(x-1) + O\left((x-1)^3\right)} = -\frac{2}{\pi(x-1)}\left[1+O\left((x-1)^2\right)\right]\frac{1}{1 - O\left((x-1)^2\right)} = -\frac{2}{\pi(x-1)}\left[1+O\left((x-1)^2\right)\right]\left[1 + O\left((x-1)^2\right)\right] = -\frac{2}{\pi(x-1)} + O\left((x-1)\right).$$ Dermed ser vi at $$\lim_{x\rightarrow 1} (1-x)\tan\left(\frac{\pi}{2}x\right) = \lim_{x\rightarrow 1} \left[\frac{2}{\pi} + O\left((x-1)^2\right)\right] = \frac{2}{\pi}$$