To grenseverdier

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

To grenseverdier

Innlegg Markus » 16/07-2018 12:09

Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: To grenseverdier

Innlegg Kay » 16/07-2018 13:59

Markus skrev:Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$


Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]
[tex]e=\pi=3[/tex]
Kay offline
Galois
Galois
Innlegg: 553
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: To grenseverdier

Innlegg Markus » 16/07-2018 14:27

Kay skrev:
Markus skrev:Finn grenseverdiene
$$[1] \, \lim_{x\to \infty} \left (1+\frac{a}{x} \right )^{bx}$$ $$[2] \, \lim_{x \to \infty} \frac{x+x^2+x^3+\dots + x^x}{1^x+2^x+3^x+\dots + x^x}$$


Må nesten tenke litt mer for å få til #2, men #1 er ganske grei, tror jeg iallefall.

[tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}[/tex]

La oss innføre substitusjonen [tex]\lambda =\frac{a}{x}[/tex]

Da får vi at

[tex]\left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=(1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}[/tex]

Fra logaritmereglene kan vi si at [tex](1+\lambda)^{\frac{ba}{\lambda}}=e^{b \lambda \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}[/tex]

Så er det bare å kjøre på med l'Hopitals og vise at grenseverdien for logaritmeuttrykket er [tex]1[/tex]

Derfor så oppnår vi til slutt at [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+\frac{a}{x} \right )^{bx}=e^{ba\lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\ln(1+\lambda)}{\lambda}}=e^{ba}[/tex]


Jepp, det er helt korrekt. Gjorde omtrent akkurat det samme som deg, minus substitusjonen. Er nok litt mer arbeid med nummer 2, men underveis kan du få bruk for resultatet av grenseverdien du nettopp viste, litt avhengig av fremgangsmåten din.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: To grenseverdier

Innlegg Mattegjest » 16/07-2018 16:52

Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e
Mattegjest offline

Re: To grenseverdier

Innlegg Markus » 16/07-2018 17:30

Mattegjest skrev:Adg. grenseverdi 2:

Multipliser teljar og nemnar med x[tex]^{-x}[/tex]. Då ser vi at teljar går mot 1 når x går mot uendeleg.


Nemnar dannar ei konvergent geometrisk rekkje der første leddet a[tex]_1[/tex] = 1 og kvotienten k = e[tex]^{-1}[/tex].


Summen S av ledda i nemnar = a[tex]_1[/tex]/(1 - k ) = 1/(1 - e[tex]^{-1}[/tex] ) = e/(e - 1) .


Grenseverdien (x går mot uendeleg ) teljar/nemnar = 1/e/(e - 1 ) = ( e - 1 )/e

Flotters mattegjest!

Hvordan regna du ut grenseverdien til nevneren? Ved hjelp av grensverdi nummer 1, eller hadde du en annen måte?
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: To grenseverdier

Innlegg Mattegjest » 16/07-2018 18:27

Det allmenne leddet i nemnar ( etter multiplikasjon med x[tex]^{-x}[/tex] ) kan skrivast på forma


a[tex]_m[/tex] = ( n går mot uendeleg (1 + 1/n )[tex]^n[/tex] )[tex]^{-m}[/tex] = e[tex]^{-m}[/tex] , m >= 0
Mattegjest offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester