Medium Algebra

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Medium Algebra

Innlegg Gustav » 25/09-2018 01:06

La $f(x)=x^2+x$. Vis at ligningen $4f(a)=f(b)$ ikke har noen løsninger i positive heltall $a,b$.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Medium Algebra

Innlegg DennisChristensen » 25/09-2018 10:35

Gustav skrev:La $f(x)=x^2+x$. Vis at ligningen $4f(a)=f(b)$ ikke har noen løsninger i positive heltall $a,b$.

Anta at $4f(a)=f(b)$, der $a,b \in \mathbb{Z}_{>0}$. Vi fullfører kvadratene og faktoriserer:
\begin{align*}
4(a^2 + a) & = b^2 + b \\
(2a+ 1)^2 - 1 & = (b+\frac12)^2 - \frac14 \\
(2a+1)^2 - (b+\frac12)^2 & = \frac34 \\
\left(2a + 1 + b + \frac12\right)\left(2a + 1 - b - \frac12\right) & = \frac34 \\
\left(4a + 2b + 3\right)\left(4a - 2b + 1\right) & = 3, \\
\end{align*}
hvilket er en selvmotsigelse, ettersom $4a + 2b + 3 > 3$ og $4a - 2b + 1 \in \mathbb{Z}$.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 762
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Medium Algebra

Innlegg Gustav » 25/09-2018 13:54

Fin løsning :D
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester