Side 1 av 1

Finn alle funksjonene

Lagt inn: 22/11-2018 15:16
av Kay
Finn alle deriverbare funksjoner [tex]f \ : \ (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}[/tex] slik at [tex]f(b)-f(a)=(b-a)f'(\sqrt{ab}) \ \forall\ a,b>0[/tex]

Re: Finn alle funksjonene

Lagt inn: 22/11-2018 17:29
av Markus
https://matematikk.net/matteprat/viewto ... 19&t=48315
Denne ble også spurt her for noen dager siden. Sikkert ingen vits å ha den to steder ;)

Re: Finn alle funksjonene

Lagt inn: 22/11-2018 17:30
av Kay
Markus skrev:https://matematikk.net/matteprat/viewto ... 19&t=48315
Denne ble også spurt her for noen dager siden. Sikkert ingen vits å ha den to steder ;)
Herregud unnskyld, det må jeg fullstendig ha oversett :oops:

Får finne en annen oppgave som passer :|

Re: Finn alle funksjonene

Lagt inn: 22/11-2018 17:35
av Markus
Kay skrev:
Markus skrev:https://matematikk.net/matteprat/viewto ... 19&t=48315
Denne ble også spurt her for noen dager siden. Sikkert ingen vits å ha den to steder ;)
Herregud unnskyld, det må jeg fullstendig ha oversett :oops:

Får finne en annen oppgave som passer :|
Ingenting å si unnskyld for! Bare tenkte å gjøre deg oppmerksom på det. Ser fram til oppfølgeren ;)

Re: Finn alle funksjonene

Lagt inn: 22/11-2018 17:41
av Kay
Vis at uttrykket [tex]m^5+3m^4n-5m^3n^2-15m^2n^3+4mn^4+12n^5[/tex] ikke kan ha verdien [tex]33[/tex] for noen som helst [tex]m,n \in \mathbb{Z}[/tex]

Re: Finn alle funksjonene

Lagt inn: 24/11-2018 00:18
av zzzivert
La $p(m,n)=m^5+3m^4n-5m^3n^2-15m^2n^3+4mn^4+12n^5$.
Vi ser at $p(n,n)=0$, så $(m-n)$ deler $p$. Vi gjør polynomdivisjon og får:
$p(m,n)=(m-n)(m^4+4m^3n-m^2n^2-16mn^3-12n^4)$
Videre oppdager vi på tilsvarende måte at $p$ har faktorene:
$(m-2n)$, $(m+n)$, $(m+2n)$ og $(m+3n)$. Så vi har
$p(m,n)=(m-n)(m-2n)(m+n)(m+2n)(m+3n)$.

Anta nå at $p(m,n)=33$ for $m,n \in \mathbb{Z}$.
Siden $33=\pm3\cdot \pm11\cdot \pm1\cdot \pm1\cdot \pm1$, med et partall antall negative tall.
Uansett har vi to faktorer som er like (enten $1$ eller $-1$). Så vi får:
$m+an=m+bn$ for $a,b\in\{-2, -1, 1, 2, 3\}, a\neq b$.
Dette gir at $n=0$ så $p(m,n)=m^5=33$, som er en motsigelse da $m=\sqrt[5]{33} \notin \mathbb{Z}$.