matematikk.net

Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
$$ 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y , \text{og}\\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1$$

Gustav skrev:Finn alle funksjoner $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at
$$ 2\cdot f(x)-g(x)=f(y)-y , \text{og}\\ f(x)\cdot g(x)\ge x+1$$

Om vi setter $y=0$ og $y=x$ inn i likningen ser vi at $2f(x) - g(x) = f(0)$ og $f(x) - g(x) = -x.$ Subtraherer vi disse likningene får vi at $f(x) = f(0) + x$ og $g(x) = f(0) + 2x.$ Ulikheten sier dermed at $f(0)^2 + 3xf(0) + (2x^2 - x - 1) \geq 0$ for alle $x\in\mathbb{R}$. Spesielt må dette gjelde for $x=-2f(0)$, så vi vet at $-\left(f(0) - 1\right)^2 \geq 0.$ Dette impliserer at $f(0) = 1$ er eneste mulighet, men ettersom $f(0) = 1 \implies f(0)^2 + 3xf(0) + (2x^2 - x - 1) = 2x^2 + 2x$, et uttrykk som er negativt når $x\in (-1, 0)$, vet vi at det ikke finnes noen slike funksjoner.