Gammel Putnamnøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Gammel Putnamnøtt

Innlegg Markus » 18/12-2018 16:53

Finn alle kontinuerlig deriverbare funksjoner $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at for alle $x$ er $$(f(x))^2 = \int_0^x \left[(f(t))^2+(f'(t))^2 \right] \, \text{d}t + 2018$$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 737
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel Putnamnøtt

Innlegg Aleks855 » 18/12-2018 18:40

Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.
Bilde
Aleks855 online
Rasch
Rasch
Innlegg: 5709
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Gammel Putnamnøtt

Innlegg Markus » 18/12-2018 19:19

Aleks855 skrev:Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.

Hehe, fin observasjon ;) I den originale oppgaveformuleringen sto det et annet tall, men for å gjøre oppgaven en smule mer "aktuell" byttet jeg det ut. Det har ingenting å si for løsningen hvilket tall som står der så lenge det er $\geq 0$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 737
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel Putnamnøtt

Innlegg Kay » 18/12-2018 20:45

Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)+\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:
Sist endret av Kay den 18/12-2018 22:23, endret 1 gang
[tex]i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t) \rangle=\hat{H}|\Psi(t) \rangle[/tex]
Kay online
von Neumann
von Neumann
Innlegg: 526
Registrert: 13/06-2016 18:23

Re: Gammel Putnamnøtt

Innlegg Markus » 18/12-2018 21:58

Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:


Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 737
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel Putnamnøtt

Innlegg Kay » 18/12-2018 22:23

Markus skrev:
Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:


Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .


Derp ja, retter opp det sporenstreks :)
[tex]i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi(t) \rangle=\hat{H}|\Psi(t) \rangle[/tex]
Kay online
von Neumann
von Neumann
Innlegg: 526
Registrert: 13/06-2016 18:23

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester