Side 1 av 1

Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 16:53
Markus
Finn alle kontinuerlig deriverbare funksjoner $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ slik at for alle $x$ er $$(f(x))^2 = \int_0^x \left[(f(t))^2+(f'(t))^2 \right] \, \text{d}t + 2018$$

Re: Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 18:40
Aleks855
Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.

Re: Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 19:19
Markus
Aleks855 skrev:Hvor gammel kan den være? Arbitrære konstanter som likner nåværende eller nylige årstall pleier å være der fordi oppgaven ble lagd det året.

Men jeg vil likevel tro at oppgaven kan være gamlere, men de fant ut at konstant-verdien greit kan byttes ut med et årstall.

Hehe, fin observasjon ;) I den originale oppgaveformuleringen sto det et annet tall, men for å gjøre oppgaven en smule mer "aktuell" byttet jeg det ut. Det har ingenting å si for løsningen hvilket tall som står der så lenge det er $\geq 0$.

Re: Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 20:45
Kay
Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)+\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:

Re: Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 21:58
Markus
Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:


Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .

Re: Gammel Putnamnøtt

InnleggSkrevet: 18/12-2018 22:23
Kay
Markus skrev:
Kay skrev:Kanskje litt små-juks i og med at jeg har sett denne før, men poster en liten spoiler løsning uansett

[+] Skjult tekst
Hvis vi deriverer begge sider får vi [tex]2f(x)\frac{df(x)}{dx}=f^2(x)\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2\Leftrightarrow f'(x)=f(x)[/tex] og herifra finner vi at [tex]|f(x)|=e^xe^C[/tex]. Siden [tex]f(0)=\pm \sqrt{2018}[/tex] er det ok å se at [tex]f(x)=\pm\sqrt{2018}\ e^x[/tex] or so I would like to think? :lol:


Har sikkert en eller annen feil i tegnsettinga der oppe, er ikke den beste på logikken mellom implikasjon og ekvivalens og misbruker begge om en annen selv om det er helt på trynet feil :lol:


Rett dette, men regner med du mener
[+] Skjult tekst
$2f(x)f'(x)=(f(x))^2+(f'(x))^2$ istedenfor multiplikasjonen på høyresiden?
Løste den likt selv :)

Edit: enig i det ene jeg var uenig med deg i :P .


Derp ja, retter opp det sporenstreks :)