Grei tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Grei tallteori

Innlegg Gustav » 30/12-2018 16:41

Finn alle heltallsløsninger av ligningen $19x^3-84y^2=1984$
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 30/12-2018 18:54

Vi kan skrive om til $19x^3-19\cdot 100 = 84+84y^2$, så $19(x^3-100) = 84(1+y^2)$, men høyresiden er aldri delelig med $19$ siden $y^2 \equiv -1 \pmod{19}$ ikke er løsbar av Eulers kriterium da $(-1)^{\frac{19-1}{2}} \equiv -1 \pmod{19}$. Derfor har likningen ingen heltallsløsninger.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 30/12-2018 19:23

Selvsagt riktig!
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 30/12-2018 20:37

Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 31/12-2018 15:54

Markus skrev:Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.


Denne mener jeg er postet og løst her minst én gang tidligere, ja.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 31/12-2018 16:14

Gustav skrev:
Markus skrev:Mulig du har sett den før, men oppfølger:

La $n\in \mathbb{Z}_{>1}$, vis at $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{n}$ ikke er et heltall.


Denne mener jeg er postet og løst her minst én gang tidligere, ja.

Oi, beklager! Det sjekket jeg ikke. Håper ikke denne har blitt spurt før:
Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Grei tallteori

Innlegg Gustav » 03/01-2019 05:48

Markus skrev:Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$


La først $z=x^2$, så ligningen blir $z^2-6z+1=7\cdot 2^y$, som har løsningene $z=3\pm \sqrt{7\cdot 2^y+8}$. Hvis $y>3$ vil vi kunne skrive uttrykket inni rottegnet som $8(7\cdot 2^{y-3}+1)$, men her vil faktoren 2 være opphøyd i en odde potens (siden $2\nmid (7\cdot 2^{y-3}+1))$), dermed er uttrykket aldri et kvadrattall, så de eneste mulighetene nå er $y=2$ og $y=3$ ($y$ kan ikke være negativt). Gjennom å sjekke de to casene vil man se at de eneste heltallsløsningene er $x=\pm 3, y=2$.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei tallteori

Innlegg Markus » 03/01-2019 13:01

Gustav skrev:
Markus skrev:Finn alle heltallsløsninger $(x,y)$ til likningen $x^4-6x^2+1=7\cdot 2^y$


La først $z=x^2$, så ligningen blir $z^2-6z+1=7\cdot 2^y$, som har løsningene $z=3\pm \sqrt{7\cdot 2^y+8}$. Hvis $y>3$ vil vi kunne skrive uttrykket inni rottegnet som $8(7\cdot 2^{y-3}+1)$, men her vil faktoren 2 være opphøyd i en odde potens (siden $2\nmid (7\cdot 2^{y-3}+1))$), dermed er uttrykket aldri et kvadrattall, så de eneste mulighetene nå er $y=2$ og $y=3$ ($y$ kan ikke være negativt). Gjennom å sjekke de to casene vil man se at de eneste heltallsløsningene er $x=\pm 3, y=2$.

Selvsagt korrekt. Fra den grekse olympiaden 2010.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 11 gjester