Gammel Abel og AIME tallteori

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Gammel Abel og AIME tallteori

Innlegg Markus » 03/04-2019 22:51

(1) Finn alle par av heltall $(m,n)$ tilfredstiller likningen $$m^3+6m^2+5m=27n^3+9n^2+9n+1$$

(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$. Finn $n$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 740
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel Abel og AIME tallteori

Innlegg DennisChristensen » 04/04-2019 09:55

(1) Venstre side kan faktoriseres som $m(m+5)(m+1)$, hvilket alltid er delelig med $3$. Dermed får vi $0=1$ mod $3$ når vi reduserer likningen mod 3, så det finnes ingen løsninger.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Gammel Abel og AIME tallteori

Innlegg Markus » 04/04-2019 18:45

DennisChristensen skrev:(1) Venstre side kan faktoriseres som $m(m+5)(m+1)$, hvilket alltid er delelig med $3$. Dermed får vi $0=1$ mod $3$ når vi reduserer likningen mod 3, så det finnes ingen løsninger.

Selvfølgelig helt rett! Løste den likt.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 740
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Gammel Abel og AIME tallteori

Innlegg mrcreosote » 15/04-2019 22:30

Markus skrev:(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$. Finn $n$.


Siden $n^5\equiv n \mod m$ både for m=3 og m=10 (og dermed m=30) får vi at $n\equiv 0 \mod 3$ og $n\equiv 4 \mod 10$. Det gir $n\equiv 24 \mod 30$, så $n\in\{144,174,204,\dots\}$. ($n$ er åpenbart større enn $133$.)

Videre er $133^5+110^5+84^5+27^5<136^5+136^5+102^5+34^5 = 34^5(4^5+4^5+3^5+1^5) = 34^5(1024+1024+243+1)=34^5\cdot2292 <34^5\cdot3125=34^5\cdot5^5 = 170^5 < 174^5$.

Samla betyr dette at $n=144$.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Re: Gammel Abel og AIME tallteori

Innlegg Markus » 17/04-2019 23:03

mrcreosote skrev:
Markus skrev:(2) En av Eulers formodninger ble på 60-tallet motbevist av tre amerikanske matematikere da de viste at det fantes et positivt tall slik at $133^5+110^5+84^5+27^5=n^5$. Finn $n$.


Siden $n^5\equiv n \mod m$ både for m=3 og m=10 (og dermed m=30) får vi at $n\equiv 0 \mod 3$ og $n\equiv 4 \mod 10$. Det gir $n\equiv 24 \mod 30$, så $n\in\{144,174,204,\dots\}$. ($n$ er åpenbart større enn $133$.)

Videre er $133^5+110^5+84^5+27^5<136^5+136^5+102^5+34^5 = 34^5(4^5+4^5+3^5+1^5) = 34^5(1024+1024+243+1)=34^5\cdot2292 <34^5\cdot3125=34^5\cdot5^5 = 170^5 < 174^5$.

Samla betyr dette at $n=144$.

Selvfølgelig korrekt! :D Fra en AIME på 80-tallet en gang.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 740
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 7 gjester