Påskenøtt

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Påskenøtt

Innlegg Gustav » 12/04-2019 19:43

Finn alle polynomer $p(x)$ med reelle koeffisienter som tilfredsstiller $(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)$ for alle $x\in\mathbb{R}$.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Påskenøtt

Innlegg Solar Plexsus » 15/04-2019 09:46

Vi har gitt funksjonallikningen

$(1) \;\; (x - 16)p(2x) = 16(x - 1)p(x)$.

La $n=\mbox{grad}(p(x))$. Med andre ord eksisterer det $n+1$ konstanter $0 \neq c_n, c_{n-1}, \ldots ,c_0$ slik at

$(2) \;\; p(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_0$.

Det faktum at koeffisienten tilhørende $x^{n+1}$ i polynomene $(x - 16)p(2x)$ og $16(x - 1)p(x)$ er henholdsvis $a_n \cdot 2^n$ og $16a_n$, medfører ifølge (1) at $a_n \cdot 2^n = 16a_n$. Ergo blir $2^n=16$ (ettersom $a_n \neq 0$), som gir $n=4$.

Ved å sette $x=1$ i (1) får vi $-15p(2)=0$. Likeledes gir $x=16$ innsatt i (1) $240p(16)=0$. Altså er $p(2)=p(16)=0$, som innebærer at

$(3) \;\; p(x) = (x - 2)(x - 16)q(x)$,

der $q(x)$ er et andregradspolynom.
Ved å kombinere (1) og (3) blir resultatet

$(x - 16)(2x - 2)(2x - 16)q(2x) = 16(x - 1)(x - 2)(x - 16)q(x)$,

i.e.

$(4) \;\; (x - 8)q(2x) = 4(x - 2)q(x), \; x \not \in \{1,16\}$.

Ved å sette $x=2$ får vi $-6q(4)=0$. Likeledes gir $x=8$ innsatt i (4) $24q(8)=0$. Altså er $q(4)=q(8)=0$, som innebærer at

$(5) \;\; q(x) = a_4(x - 4)(x - 8)$.

Ved å kombinere (3) og (5) blir resultatet

$p(x) = a_4(x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16)$.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1662
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Påskenøtt

Innlegg Markus » 17/04-2019 10:20

Alternativt: skriv $p(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_t)$. Da fås $$\begin{alignat*}{2} a(x-16)(2x-r_1)(2x-r_2)\cdots(2x-r_t) &= 16a(x-1)(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_t) \\
2^ta \left(x-\frac{r_1}{2} \right) \left(x-\frac{r_2}{2} \right) \cdots \left ( x- \frac{r_t}{2} \right)(x-16) &= 16a(x-1)(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_t) \end{alignat*}$$ Sammenligner vi høyre- og venstresiden ser vi at $t=4$ og dermed må $\left \{\frac{r_1}{2},\frac{r_2}{2},\frac{r_3}{2},\frac{r_4}{2},16 \right \}$ være en permutasjon av $\left \{ 1,r_1,r_2,r_3,r_4 \right \}$ Det å nå se at $r_1=2,r_2=4,r_3=8,r_4=16$ fungerer er lett. Dermed fås samme løsning som Solar Plexsus.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Påskenøtt

Innlegg Gustav » 17/04-2019 18:25

Bra
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Påskenøtt

Innlegg Markus » 17/04-2019 18:50

Oppfølger:
Vis at for alle $n \in \mathbb{N}$ så har polynomet $$P_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$$ bare simple nuller i det komplekse planet.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Påskenøtt

Innlegg Gustav » 08/06-2019 11:21

Markus skrev:Oppfølger:
Vis at for alle $n \in \mathbb{N}$ så har polynomet $$P_n(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^n}{n!}$$ bare simple nuller i det komplekse planet.


Bevis ved motsigelse:

Vi ser først at $0$ ikke er en rot. Anta så at $P_n(x)$ har en rot $r\neq 0 $ med multiplisitet større enn $1$. Da er $P_n(r)=0$. Siden multiplisiteten til $r$ er større enn $1$ er også $P'_n(r)=0$. Til slutt er $P_n'(r)=P_{n-1}(r)=0$ og $P_n(r)=P_{n-1}(r)+\frac{r^n}{n!}$, som gir motsigelsen $\frac{r^n}{n!}=0\Rightarrow r=0$. Ergo har polynomet kun enkle røtter.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 15 gjester