Isomorfi

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Isomorfi

Innlegg Markus » 17/04-2019 18:54

Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?

Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:
[+] Skjult tekst
Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Isomorfi

Innlegg Markus » 29/06-2019 11:58

Løsning:
[+] Skjult tekst
Anta en slik isomorfi finnes; $\varphi: F^*\to F^+$. Da er $0=\varphi(1)=\varphi((-1)^2)=\varphi(-1)+\varphi(-1)=2\varphi(-1)$ så $\text{char}(F)=2$ eller $\varphi(-1)=0$. Dersom $\varphi(-1)=0$ er $1=\varphi^{-1}(0)=\varphi^{-1}(\varphi(-1))=-1$ så vi må ha $\text{char}(F)=2$ uansett. Dermed har vi for alle ikke-null $\alpha \in F$ at $\varphi(\alpha^2)=2\varphi(\alpha)=0=\varphi(1)$, og siden $\varphi$ er en isomorfi er den injektiv så $\alpha^2=1$ for alle ikke-null $\alpha \in F$. Denne likningen har riktignok maksimalt to løsninger over $F$ så siden $\text{char}(F)=2$ må $F$ være kroppen med to elementer. Dette er en selvmotsigelse siden $|F^+|=2\neq1 =|F^*|$
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Isomorfi

Innlegg Janhaa » 29/06-2019 15:34

Markus skrev:Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?
Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:
[+] Skjult tekst
Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.


er det mat2200 nivå UiO?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7725
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Isomorfi

Innlegg Markus » 29/06-2019 17:29

Janhaa skrev:
Markus skrev:Finnes det en kropp slik at dens multiplikative gruppe er isomorf til dens additive gruppe?
Siden ingen har kommet med en løsning enda, her er et hint:
[+] Skjult tekst
Anta en slik isomorfi finnes: $\phi: \mathbb{F}^*\to \mathbb{F}^+$, og se på $\phi((-1)^2)$.


er det mat2200 nivå UiO?

Går ikke på UiO så vet ikke nivået i det kurset. Ser ut som at de har litt Galoisteori da, så det er mer enn TMA4150 Algebra på NTNU. Jeg vil si at nivået er kanskje noe sånt; TMA4150 Algebra, men problemet krever jo strengt tatt ikke så mye annet enn veldig basic resultater. Problemet er fra IMC (International Mathematical Competition).
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Isomorfi

Innlegg Janhaa » 29/06-2019 20:15

. Problemet er fra IMC (International Mathematical Competition).

aritg oppgave, har MAT2200 fra UiO
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7725
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 19 gjester