Tallteori (VGS-nivå)

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Gitt at $x^2=y+a$ og $y^2=x+a$.

Finn alle heltall $a$ slik at $x,y$ er heltall.
Markus
Fermat
Fermat
Innlegg: 767
Registrert: 20/09-2016 13:48
Sted: NTNU

Anta først $x=y$, da får vi $x^2=x+a$, så $a=x^2-x$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.

Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

Markus skrev:Anta først $x=y$, da får vi $x^2=x+a$, så $a=x^2-x$.
Anta så $x\neq y$, og observer at $(x+y)(x-y)=x^2-y^2=(y+a)-(x+a)=y-x$, som vil si at $x+y=-1$, og $a=x^2-y=x^2-(-1-x)=x^2+x+1$.

Dermed er $a=n^2-n$ og $a=n^2+n+1$ for $n \in \mathbb{Z}$.
Selvsagt helt riktig :)
Svar