Tricky funksjonallikning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tricky funksjonallikning

Innlegg Markus » 23/06-2019 20:47

Finn alle $h \in \mathbb{R}$ slik at det finnes en deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ slik at $f'(x)=f(x+h)$ for alle $x \in \mathbb{R}$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tricky funksjonallikning

Innlegg Gustav » 27/06-2019 08:44

Følgende er bare en delvis løsning: Med ansatzen $f(x)=e^{ax}$ som løsning ser vi ved innsetting av ligningen reduseres til $a=e^{ah}$, som kan løses for $a$ ved hjelp av Lamberts W-funksjon, ie. $a=\frac{-W(-h)}{h}$, som er reell for alle $h\le \frac{1}{e}$, så alle disse verdiene av h gir en mulig løsning. Det mangler å sjekke for alle andre verdier av h.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4270
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tricky funksjonallikning

Innlegg Markus » 27/06-2019 18:27

Gustav skrev:Det mangler å sjekke for alle andre verdier av h.
Det er nettopp dette som er litt vanskelig med denne. Har i alle fall løst den likt med deg så langt modulo at jeg ikke brukte Lambert-W, men bare "vanlig kalkulus". Legger ved noen hint

Hint 1:
[+] Skjult tekst
La $g(x)=\log(f(x))$. Bruk MVT på $g(x)$ og finn et passende uttrykk for $g'(x)$

Hint 2:
[+] Skjult tekst
Vis at $\log(g'(x))<g'(x)/e$ og bruk dette til å si noe om uttrykket fra hint 1

Hint 3:
[+] Skjult tekst
Definer en følge $(x_n)$ slik at $g'(x_n)<(1/eh)^ng(x)$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 750
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 3 gjester

cron