Tricky funksjonallikning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Tricky funksjonallikning

Innlegg Markus » 23/06-2019 20:47

Finn alle $h \in \mathbb{R}$ slik at det finnes en deriverbar funksjon $f: \mathbb{R} \to (0, \infty)$ slik at $f'(x)=f(x+h)$ for alle $x \in \mathbb{R}$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tricky funksjonallikning

Innlegg Gustav » 27/06-2019 08:44

Følgende er bare en delvis løsning: Med ansatzen $f(x)=e^{ax}$ som løsning ser vi ved innsetting av ligningen reduseres til $a=e^{ah}$, som kan løses for $a$ ved hjelp av Lamberts W-funksjon, ie. $a=\frac{-W(-h)}{h}$, som er reell for alle $h\le \frac{1}{e}$, så alle disse verdiene av h gir en mulig løsning. Det mangler å sjekke for alle andre verdier av h.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4276
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Tricky funksjonallikning

Innlegg Markus » 27/06-2019 18:27

Gustav skrev:Det mangler å sjekke for alle andre verdier av h.
Det er nettopp dette som er litt vanskelig med denne. Har i alle fall løst den likt med deg så langt modulo at jeg ikke brukte Lambert-W, men bare "vanlig kalkulus". Legger ved noen hint

Hint 1:
[+] Skjult tekst
La $g(x)=\log(f(x))$. Bruk MVT på $g(x)$ og finn et passende uttrykk for $g'(x)$

Hint 2:
[+] Skjult tekst
Vis at $\log(g'(x))<g'(x)/e$ og bruk dette til å si noe om uttrykket fra hint 1

Hint 3:
[+] Skjult tekst
Definer en følge $(x_n)$ slik at $g'(x_n)<(1/eh)^ng(x)$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Tricky funksjonallikning

Innlegg Markus » 23/07-2019 22:24

Løsning:
[+] Skjult tekst
Gjør først det samme som Gustav. Anta så $h>\frac1e$, og definer $g(x)=\ln(f(x))$ (som gir mening siden $f$ er positiv). Observer nå at dersom $g'(x)<1$ er $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f(x+h)}{f(x)}<1$, altså $f(x+h)<f(x)$, som vil gi oss en selvmotsigelse ettersom $f$ er voksende da $f'(x)=f(x+h)$ og $f$ er positiv. Dermed er hovedstrategien vår å vise at det finnes en $x$ slik at dette er sant.

Ved middelverdisetningen er $\frac{g(x+h)-g(x)}{(x+h)-x}=g'(x+\theta)$, så $g(x+h)-g(x)=g'(x+\theta)$ for en $\theta \in (0,h)$. Nå er $$g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{f(x+h)}{f(x)}=\frac{e^{g(x+h)}}{e^{g(x)}} = e^{g(x+h)-g(x)} = e^{g'(x+\theta)} \qquad \theta \in (0,h)$$. Dermed er $g'(x+\theta)=\log(g'(x))$. Ved Bernoullis ulikhet er $e^x=\lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{x}{n} \right)^n \geq \lim_{n \to \infty} 1+n\frac{x}{n}=1+x$. Sett nå $x=f(x)/e-1$ så fås $\ln(f(x)) \leq \frac{f(x)}{e}$. Dermed får vi med denne ulikheten at $g'(x+\theta)\leq \frac{g'(x)}{eh}$. La nå $c=\frac{1}{eh}$, siden $h > \frac1e$ er dermed $c \in (0,1)$. Definer følgen $(x_n)$ ved $x_0=x$ og $x_n=x_{n-1}+\theta_{x_{n-1}}$ for $n\geq 1$ der $\theta_{x_i}$ er den $\theta$-en vi får ved å bruke middelverdisetningen på $g(x)$ på intevallet $[x_i,x_i+h]$. Da er $$g'(x_n)=g'(x_{n-1}+\theta_{x_{n-1}}) \leq cg'(x_{n-1}) = cg'(x_{n-2}+\theta_{x_{n-2}}) \leq c^2g'(x_{n-2}) \leq \cdots \leq c^ng'(x)$$ Lar vi nå $n \to \infty$ ser vi at $c^ng'(x)\to 0$, så $g'(x_n)=0$, som er den selvmotsigelsen vi lette etter.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 759
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 12 gjester