Solve:
[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]
2nd-order nonlinear ODE
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.Janhaa skrev:Solve:
[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]
bra Dennis:DennisChristensen skrev:Likningen kan skrives som $\left(y/y'\right)' + \sqrt{1 + \left(y/y'\right)^2} = 0.$ Om vi lar $z=y/y'$ får vi en separabel difflikning i $z$ med løsningen $z = -\sinh(x + c_1)$, der $c_1$ er en integrasjonskonstant. Vår nye difflikning $y/y' = -\sinh(x + c_1)$ er nok en gang separabel, og vi ender med at $$\log|y| = \log\left(\sinh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) - \log\left(\cosh\left(\frac{x-c_1}2\right)\right) + c_2,$$ der $c_2$ er en integrasjonskonstant.Janhaa skrev:Solve:
[tex]\large y*y''=(y')^2+y'*\sqrt{y^2+(y')^2}[/tex]
mitt forslag:
[tex]\frac{(y')^2-yy"}{(y')^2}=-\sqrt{\left(\frac{y}{y'}\right)^2+1}\\ \\ \int\frac{d(\frac{y}{y'})}{\sqrt{\left ( \frac{y}{y'} \right )^2+1}}=-\int dx\\ \\ arcsinh(\frac{y}{y'})=a-x\\ \\ \frac{y'}{y}=cosech(x-a)\\ \\ \ln(y)=\ln(\coth(\frac{a-x}{2}))+\ln(b)[/tex]
[tex]y=b\cdot\coth(\frac{a-x}{2})+b[/tex]
[tex]a, b \in Z[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]