Delelighet
Lagt inn: 14/07-2019 00:41
For forskjellige heltall $x,y,z$, vis at $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ er delelig med $5(x-y)(y-z)(z-x)$
Ved å sette
$(1) \;\; (a,b,c) = (x-y,y-z,z- y)$,
får vi $abc \neq 0$ (ettersom $x,y,z$ er ulike heltall) og
$(2) \;\; a + b + c = 0$.
Ved å kombinere (2) med binomialformelen blir resultatet
$a^5 + b^5 + c^5 = a^5 + b^5 - (a + b)^5 = -5ab(a^3 + 2a^2b + 2ab^2 + b^3) = -5ab[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + 2ab(a + b)] = -5ab(a + b)(a^2 + ab + b^2)$,
som ifølge ((1) betyr at
$a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(a^2 + ab + b^2)$.
Følgelig er $a^5 + b^5 + c^5$ delelig med $5abc$, hvilket iht. (1) gir oss
$5(x - y)(y - z)(z - x) \mid (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$.