Hele tall og esker

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Re: Hele tall og eske

Innlegg Solar Plexsus » 11/08-2019 09:02

La x være lengden på den minste røde esken og la n være antall røde esker.
Da vil summen av overflatene og sidelengdene på de n eskene være

$O_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} [6(x + 3k)^2 + 12(x + 3k)]$

$= \sum_{k=0}^{n-1} [6(3y + 3k)^2 + 12(3y + 3k)] \;\;\; (x=3y)$

$= \sum_{k=0}^{n-1} [54(y + k)^2 + 36(y + k)]$

$= 54\Big[ \sum_{k=0}^{y+n-1} k^2 - \sum_{k=0}^{y-1} k^2 \Big] + 36 \Big[ \sum_{k=0}^{y+n-1} k - \sum_{k=0}^{y-1} k \Big]$

$= 54 \Big[ \frac{(y + n - 1)(y + n)(2y + 2n - 1)}{6} - \frac{y(y - 1)(2y - 1)}{6} \Big] + 36 \Big[ \frac{(y + n - 1)(y + n)}{2} - \frac{(y - 1)y}{2} \Big]$

$= 9[(y + n)(2y^2 + (4n - 3)y + (n - 1)(2n - 1)) - y(2y^2 - 3y + 1)] +18[y^2 + (2n - 1)y + n(n - 1) - y^2 + y]$

$= 9[2y^3 + (6n - 3)y^2 + (6n^2 - 6n + 1)y + n(n - 1)(2n - 1) - 2y^3 + 3y^2 - y] + 18[2ny + n(n - 1)]$

$= 9[6ny^2 + 6n(n - 1)y + n(n - 1)(2n - 1)] + 18[2ny + n(n - 1)]$

$= 9n[6y^2 + 6(n - 1)y + (n - 1)(2n - 1) + 4y + 2(n - 1)]$

$= 9n[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]$

$= n[6 \cdot (3y)^2 + 6(3n - 1) \cdot (3y) + 9(n - 1)(2n + 1)]$,

hvilket innebærer at

$(1) \;\; O_n(x) = 3n[2x^2 + 2(3n - 1)x + 3(n - 1)(2n + 1)]$.

Summen av volumene av de n eksene er

$V_n(x) = \sum_{k=0}^{n-1} (x + 3k)^3$

$= \sum_{k=0}^{n-1} (3y + 3k)^3 \;\;\; (x=3y)$

$= \sum_{k=0}^{n-1} 3^3 \cdot (y +k)^3$

$= 27 \Big[ \sum_ {k=0}^{y+n-1} k^3 - \sum_ {k=0}^{y-1} k^3 \Big]$

$= 27 \Big[ \Big( \frac{(y + n - 1)(y + n)}{2} \Big)^2 - \Big( \frac{(y - 1)y}{2}\Big)^2 \Big]$

$= \frac{27}{4} [(y + n - 1)(y + n) - y(y - 1)][(y + n - 1)(y + n) + y(y - 1)]$

$=\frac{27}{4}[2ny + n(n - 1)][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]$

$= \frac{n}{4}[2 \cdot (3y) + 3(n - 1)][(2 \cdot (3y)^2 + 6(n - 1) \cdot (3y) + 9n(n - 1)]$,

som betyr at

$(2) \;\; V_n(x) = \frac{n}{4}[2x + 3(n - 1)][2x^2 + 6(n - 1)x + 9n(n - 1)]$.

Det er opplyst at

$V_n(x) = O_n(x)$,

som gir

$[2x + 3(n - 1)][2x^2 + 6(n - 1)x + 9n(n - 1)] = 4[6x^2 + 6(3n - 1)x + 9(n - 1)(2n + 1)]$,

som er ekvivalent med

$(3) ;\; 4x^3 + 6(3n - 7)x^2 + 6(6n^2 - 21n + 7)x + 9(n - 1)(n- 4)(3n + 1) = 0$.

Vi observerer at den venstre siden av likning (1) er positiv når n>3. Altså må n<3.

Dermed har vi følgende tre muligheter:

$\bullet \; n=1 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 4x(x^2 - 6x - 48) = 0$.

$\bullet \; n=2 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; 2(x^3 - 3x^2 - 33x - 63) = 0$.

$\bullet \; n=3 \;\;\; \Rightarrow \;\; 4(x^3 + 3x^2 - 3x - 45) = 0 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; 4(x - 3)(x^2 + 6x + 15) = 0$.

Den eneste av disse som har et naturlig tall som rot er den siste likningen. Dermed får vi at x=n=3.

Dette innebærer at den minste gule esken har sidelengde 12 og at (ettersom sidelengden øker med 3) x er delelig med 3, dvs. at x=3y. Ved å sette inn denne substitusjonen i formlene (1) og (2) får vi at

$(4) \;\; O_n(y) = 9n[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]$

og

$(5) \;\; V_n(y) = \frac{27n}{4}[2y + n - 1][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]$.

Det er opplyst at kvotienten

$\frac{V_n(y)}{O_n(y)} = K_n(y)$

er et naturlig tall. Dermed følger det av formlene (4) og (5) at

$(6) \;\; K_n(y) = \frac{3[2y + n - 1][2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]}{4[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]} \in \mathbb{N}$.

Nå er

$\frac{3[2y^2 + 2(n - 1)y + n(n - 1)]}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$

$= \frac{[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)] - [4y - (n - 1)^2]}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$

$= 1 - \frac{4y - (n - 1)^2}{6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)}$,

som kombinert formelen (5) gir

$(7) \;\; K_n(y) = \frac{2y + n - 1}{4} - \frac{[2y + n - 1][4y - (n - 1)^2]}{4[6y^2 + 2(3n - 1)y + (n - 1)(2n + 1)]}$

Anta at n er odde, i.e. n=2k+1. Ved å velge

$y = \Big[ \frac{n-1}{2} \Big]^2 = k^2$

og anvende (7) blir resultatet at

$(8) \;\; K_{2k+1}(k^2) = \frac{k(k + 1)}{2}$.

Med andre ord får man ved å velge

$(n,y) = (2k+1,k^2)$

en heltallsverdi for kvotienten

$\frac{V_n(y)}{O_n(y)}$.

Med andre ord gir

$(n,x) = (n,3y) = (2k+1,3k^2)$

en løsning av det aktuelle «eskeproblemet» som innebærer at antall røde, hvite, gule, grønne og blå esker er hhv. 3, 5, 7, 9 og 11.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1667
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Hele tall og esker

Innlegg josi » 11/08-2019 12:17

Bravo! En skikkelig solar plexus!
josi offline

Forrige

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 3 gjester