IMC 2019

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

IMC 2019

Innlegg Markus » 03/08-2019 14:04

1) Definer $a_n$ som den minste $k \in \mathbb{N}$ slik at $n \mid k!$. La $\mathcal{C} = \{4,6,8,9,10,12,\dots\}$ være mengden av alle sammensatte tall. Konvergerer eller divergerer rekken under? $$\sum_{n \in \mathcal{C}} \left (\frac{a_n}{n} \right )^n$$

2) Finnes det et positivt oddetall $n$ slik at for $n\times n$-matriser $A,B$ med heltallselementer er $\det(B)=1, AB= BA$ og $A^4 + 4A^2B^2 + 16B^4=2019I$?

Edit: rettet opp i spørsmål 2.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: IMC 2019

Innlegg mingjun » 06/08-2019 18:33

Markus skrev:1) Definer $a_n$ som den minste $k \in \mathbb{N}$ slik at $n \mid k!$. La $\mathcal{C} = \{4,6,8,9,10,12,\dots\}$ være mengden av alle sammensatte tall. Konvergerer eller divergerer rekken under? $$\sum_{n \in \mathcal{C}} \left (\frac{a_n}{n} \right )^n.$$


La $p_n$ betegne den minste primdivisoren til $n$ som ikke er $1$. For sammensatte tall $n$ som ikke er en potens av $p_n$ kan vi skrive $$a_n\leq \frac{n}{p_n} \leq \frac{n}{2}.$$ La $C' \in C$ være mengden av alle primttallspotenser i $C$, og la $\bar{C}=C\backslash C'$. Summen over $\bar{C}$ konvergerer fordi $$ \sum _{n\in\bar{C}} \left( \frac{a_n}{n} \right)^n \leq\sum _{n\in \bar{C}} \left( \frac{\frac{n}{2}}{n} \right)^n <\sum _{n\in \mathbb{N}} \left( \frac{1}{2} \right)^n<1.$$ Tilfellet for $C'$ er bittelitt mer teknisk. For $n=p_n^k$ kan vi skrive $$a_n<kp_n\Rightarrow \frac{a_n}{n}\leq \frac{k}{{p_n}^{k-1}}.$$ Observer nå at $\frac{k}{{p_n}^{k-1}}$ er strengt synkende i $k$ og $p_n$ for $k\geq 2$ og $p_n\geq 2$. Derfor, sett bort fra tilfellet $k=2 \wedge n=2$, er alle mulige verdier av $\frac{k}{{p_n}^{k-1}}$ grenset overfra av enten $\frac{2}{3^{2-1}}$ eller $\frac{3}{2^{3-1}}$, der begge er mindre enn $1$. Dette gir oss nok en gang en sum på typen av $$\sum_{n\in C'} \left(\frac{a_n}{n}\right)^n \leq \sum_{n\in C'} \left(\text{Øvre grense < 1} \right)^n < \sum_{n\in N} \left(\text{Øvre grense < 1} \right)^n$$ som vi vet konvergerer.

(Man trenger ikke casework om man finnr en lineær øvre grense på $a_n$ med hensyn til $n$ som holder uavhengig om $n$ er en primtallspotens eller ikke, jeg var desverre for trøtt til det.)
mingjun offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 91
Registrert: 18/11-2016 21:13
Bosted: Det projektive planet

Re: IMC 2019

Innlegg Markus » 11/08-2019 22:16

mingjun skrev:La $p_n$ betegne den minste primdivisoren til $n$ som ikke er $1$. For sammensatte tall $n$ som ikke er en potens av $p_n$ kan vi skrive $$a_n\leq \frac{n}{p_n} \leq \frac{n}{2}.$$ La $C' \in C$ være mengden av alle primttallspotenser i $C$, og la $\bar{C}=C\backslash C'$. Summen over $\bar{C}$ konvergerer fordi $$ \sum _{n\in\bar{C}} \left( \frac{a_n}{n} \right)^n \leq\sum _{n\in \bar{C}} \left( \frac{\frac{n}{2}}{n} \right)^n <\sum _{n\in \mathbb{N}} \left( \frac{1}{2} \right)^n<1.$$ Tilfellet for $C'$ er bittelitt mer teknisk. For $n=p_n^k$ kan vi skrive $$a_n<kp_n\Rightarrow \frac{a_n}{n}\leq \frac{k}{{p_n}^{k-1}}.$$ Observer nå at $\frac{k}{{p_n}^{k-1}}$ er strengt synkende i $k$ og $p_n$ for $k\geq 2$ og $p_n\geq 2$. Derfor, sett bort fra tilfellet $k=2 \wedge n=2$, er alle mulige verdier av $\frac{k}{{p_n}^{k-1}}$ grenset overfra av enten $\frac{2}{3^{2-1}}$ eller $\frac{3}{2^{3-1}}$, der begge er mindre enn $1$. Dette gir oss nok en gang en sum på typen av $$\sum_{n\in C'} \left(\frac{a_n}{n}\right)^n \leq \sum_{n\in C'} \left(\text{Øvre grense < 1} \right)^n < \sum_{n\in N} \left(\text{Øvre grense < 1} \right)^n$$ som vi vet konvergerer.

Ser bra ut! Jeg hadde essensielt sett samme løsning.

Lite hint på oppgave 2 hvis noen vil prøve seg:
[+] Skjult tekst
La $A,B$ være $n\times n$-matriser med heltallselementer. Hvis $A \equiv B \pmod{n}$ er $\det(A) \equiv \det(B) \pmod{n}$.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: IMC 2019

Innlegg Gustav » 17/08-2019 21:21

Markus skrev:
2) Finnes det et positivt oddetall $n$ slik at for $n\times n$-matriser $A,B$ med heltallselementer er $\det(B)=1, AB= BA$ og $A^4 + 4A^2B^2 + 16B^4=2019I$?


Modulo 4 fås $A^4\equiv 3I$, så ved å ta determinanten fås $\det(A)^4\equiv 3^n$. Siden $n$ er odde er $3^n\equiv 3\pmod 4$, men den diofantiske ligningen $x^4\equiv 3\pmod 4 $ har ingen løsninger, og det er dermed ingen oddetall n som er løsninger på problemet.

PS: Det mest forvirrende med denne var vel de overflødige opplysningene i oppgaveformuleringen.
Beware of the Ratmen during the full moon for they grow stronger as the moon gets fuller
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4277
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: IMC 2019

Innlegg Markus » 23/08-2019 22:53

Gustav skrev:Modulo 4 fås $A^4\equiv 3I$, så ved å ta determinanten fås $\det(A)^4\equiv 3^n$. Siden $n$ er odde er $3^n\equiv 3\pmod 4$, men den diofantiske ligningen $x^4\equiv 3\pmod 4 $ har ingen løsninger, og det er dermed ingen oddetall n som er løsninger på problemet.

PS: Det mest forvirrende med denne var vel de overflødige opplysningene i oppgaveformuleringen.

Yes, fin løsning! :)
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester