Kvadratiske tall

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Kvadratiske tall

Innlegg Markus » 11/08-2019 22:30

Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Re: Kvadratiske tall

Innlegg Solar Plexsus » 12/08-2019 15:54

Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1.

Dette betyr at alle partall > 2 er kvadratiske.

På samme måte legger vi et kvadrat med sidelengde 2k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat av sidelengde 2 pluss et kvadrat av sidelengde 2 der et av hjørnene er H. Dette kvadratet deles så i 4 kvadrat av sidelengde 1. Dermed får vi 2k+5 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde 2k+2.

Dette betyr at alle oddetall > 5 er kvadratiske.

Følgelig gjenstår det å avgjøre om tallene 1,2,3 og 5 er kvadratiske.

Tallet 1 er åpenbart kvadratisk.

For tallene 2, 3 og 5 kan vi finne ut hva som kreves for å danne et rektangel bestående av hhv. 2, 3 og 5 kvadrater.

Er tallet 2, må rektanglet bestå av to kvadrat med samme sidelengde. Så forholdet mellom den korteste og lengste siden i rektanglet 1:2. Altså er 2 ikke kvadratisk.

Er tallet 3, må rektanglet bestå av tre kvadrater med sidelengde k, k og 2k, som innebærer at forholdet mellom korteste og lengste side i rektanglet 2:3. Følgelig er 3 ikke kvadratisk.

Anta til slutt at tallet er 5. La s være det lengste av disse fem sidelengdene.

La oss først plassere kvadratet med sidelengde s i planet slik at hjørnene er (0,0), (0,s),(s,0) og (s,s) og hjørnet (0,0) er nedre venstre hjørne i rektanglet R som består av de fem kvadratene. For at vi skal rektangelet R, må vi plassere to kvadrat med samme sidelengde x slik at nedre venstre hjørne i de to kvadratene har koordinatene (0,s) og (s,0).
Hvis x=s, må de to gjenværende kvadratene til sammen utgjøre et kvadrat med sidelengde s, hvilket er umulig siden 2 ikke er kvadratisk.
Hvis x<s, må de to gjenværende kvadratene ha sidelengdene (x,s-x) og (s,x) respektive. Følgelig må x=s-x (som gir s=2x) og x=s, hvilket impliserer at 2x=x, i.e. x=0, som åpenbart er umulig. Med andre ord er 5 ikke kvadratisk.

Konklusjon: Alle naturlige tall utenom 2, 3 og 5 er kvadratiske.
Solar Plexsus offline
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1664
Registrert: 03/10-2005 11:09

Re: Kvadratiske tall

Innlegg Aleks855 » 14/08-2019 09:10

Markus skrev:Vi sier at et heltall $n$ er kvadratisk dersom du kan lage et kvadrat av $n$ kvadrater. For eksempel er $1,4$ og $7$ kvadratiske tall. Finn alle kvadratiske tall.


Hvordan lager man et kvadrat av 7 kvadrater?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5838
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Kvadratiske tall

Innlegg josi » 14/08-2019 10:40

____________________________
| | |
| | |
| | |
| | |
|______________|____________|
| | | |
| | | |
| |------- |---------|
| | | |
|______________|_____|______ |
josi offline

Re: Kvadratiske tall

Innlegg josi » 14/08-2019 10:43

Sorry, grafikken gikk i knas i innlegget mitt!
josi offline

Re: Kvadratiske tall

Innlegg Gustav » 14/08-2019 11:06

Bilde
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4285
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Kvadratiske tall

Innlegg josi » 14/08-2019 11:40

Om ikke Babylon, så skulle jeg tegne et kvadrat bestående av 7 kvadrater. Men grafikken, den sa nei! Så jeg får prøve en verbal fremstilling: Tegn et kvadrat med side 4. Del dette opp i fire like store kvadrater. Del en av disse delkvadratene opp i fire like store kvadrater. Da har vi et kvadrat som består av 1+1+1+4 =7 kvadrater.
josi offline

Re: Kvadratiske tall

Innlegg Aleks855 » 14/08-2019 15:52

Ah, tenkte ikke over kvadrater med ulik størrelse.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5838
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: Kvadratiske tall

Innlegg Markus » 15/08-2019 23:18

Solar Plexsus skrev:Legg et kvadrat med sidelengde k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat med sidelengde 1 pluss et kvadrat med sidelengde 1 der et av hjørnene er H. Dermed får vi 2k+2 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde k+1.

Dette betyr at alle partall > 2 er kvadratiske.

På samme måte legger vi et kvadrat med sidelengde 2k og langs hver av to sider som møtes i et hjørne H, legges k kvadrat av sidelengde 2 pluss et kvadrat av sidelengde 2 der et av hjørnene er H. Dette kvadratet deles så i 4 kvadrat av sidelengde 1. Dermed får vi 2k+5 kvadrat som til sammen utgjør et kvadrat med sidelengde 2k+2.

Dette betyr at alle oddetall > 5 er kvadratiske.

Følgelig gjenstår det å avgjøre om tallene 1,2,3 og 5 er kvadratiske.

Tallet 1 er åpenbart kvadratisk.

For tallene 2, 3 og 5 kan vi finne ut hva som kreves for å danne et rektangel bestående av hhv. 2, 3 og 5 kvadrater.

Er tallet 2, må rektanglet bestå av to kvadrat med samme sidelengde. Så forholdet mellom den korteste og lengste siden i rektanglet 1:2. Altså er 2 ikke kvadratisk.

Er tallet 3, må rektanglet bestå av tre kvadrater med sidelengde k, k og 2k, som innebærer at forholdet mellom korteste og lengste side i rektanglet 2:3. Følgelig er 3 ikke kvadratisk.

Anta til slutt at tallet er 5. La s være det lengste av disse fem sidelengdene.

La oss først plassere kvadratet med sidelengde s i planet slik at hjørnene er (0,0), (0,s),(s,0) og (s,s) og hjørnet (0,0) er nedre venstre hjørne i rektanglet R som består av de fem kvadratene. For at vi skal rektangelet R, må vi plassere to kvadrat med samme sidelengde x slik at nedre venstre hjørne i de to kvadratene har koordinatene (0,s) og (s,0).
Hvis x=s, må de to gjenværende kvadratene til sammen utgjøre et kvadrat med sidelengde s, hvilket er umulig siden 2 ikke er kvadratisk.
Hvis x<s, må de to gjenværende kvadratene ha sidelengdene (x,s-x) og (s,x) respektive. Følgelig må x=s-x (som gir s=2x) og x=s, hvilket impliserer at 2x=x, i.e. x=0, som åpenbart er umulig. Med andre ord er 5 ikke kvadratisk.

Konklusjon: Alle naturlige tall utenom 2, 3 og 5 er kvadratiske.

Flotters! Alternativt kan man se at et kvadrat alltid kan deles opp i fire nye like store kvadrater, så hvis $n$ er et kvadratisk tall er følgelig $n+3$ det også. Det er lett å sjekke at $6,7,8$ er kvadratiske, så følgelig er alle $n>5$ kvadratiske. Da gjenstår det bare case-worken som du har gjort.
Markus offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 760
Registrert: 20/09-2016 12:48
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 9 gjester