diff lik

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

diff lik

Innlegg Janhaa » 26/10-2019 10:33

Løs følgende differensial-likning:

[tex]\large y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+...[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: diff lik

Innlegg Emilga » 28/10-2019 16:55

Vi deriverer likningen:

$$ y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$

Og får:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$

Som gir:

$$ y - \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$

Som har løsningen: $y(x) = Ce^{x/2}$.
Emilga online
Poincare
Poincare
Innlegg: 1431
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: diff lik

Innlegg Janhaa » 28/10-2019 19:43

Emilga skrev:Vi deriverer likningen:
$$ y=\frac{dy}{dx}+\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$
Og får:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2}+\frac{d^3y}{dx^3}+ \ldots $$
Som gir:
$$ y - \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} $$
$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$
Som har løsningen: $y(x) = Ce^{x/2}$.

bra, løste den på samme måte.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: diff lik

Innlegg Emilga » 28/10-2019 20:14

Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$

Som gir:

$$ \left( 1 - \frac{d}{dx} \right) y = \frac{d}{dx}y $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$
Emilga online
Poincare
Poincare
Innlegg: 1431
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: diff lik

Innlegg Janhaa » 28/10-2019 20:42

Emilga skrev:Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$

Som gir:

$$ \left( 1 - \frac{d}{dx} \right) y = \frac{d}{dx}y $$

$$ y = 2 \frac{dy}{dx} $$

den var smart!
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7789
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: diff lik

Innlegg Aleks855 » 29/10-2019 19:42

Oj, det så jo nesten ut som juks og fanteri å behandle en operator på den måten. :D
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5892
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: diff lik

Innlegg Gustav » 02/11-2019 01:16

Emilga skrev:Dersom vi er litt kreative med bruk av summeformelen for en geometrisk rekke får vi også:

$$ y = \left( \frac{d}{dx} + \frac{d^2}{dx^2} + \frac{d^3}{dx^3} + \ldots \right) y = \frac{\frac{d}{dx}}{1 - \frac{d}{dx}} y$$


Det ser litt tvilsomt ut å bruke summeformelen på denne måten syns jeg. Hvordan argumenterer man for at $\lim_{n\to \infty} \frac{d^n}{dx^n}=0$?
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4295
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: diff lik

Innlegg Emilga » 02/11-2019 22:03

Ja, det er meget tvilsomt, og sannsynligvis bare flaks at man ender opp med rett svar.

Litt som $ \frac{16}{64} = \frac{1 \cancel{6}}{\cancel{6} 4} = \frac 14$.
Emilga online
Poincare
Poincare
Innlegg: 1431
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: diff lik

Innlegg Aleks855 » 02/11-2019 22:53

$\frac{1.6}{6.4} = \frac{1\cancel . 6}{6 \cancel . 4} = \frac{16}{64}$

Noen ganger funker det helt naturlig, dog kanskje litt misvisende. :lol:

Jeg mener jeg har sett liknende kanselleringer med operatorer (spesifikt $\sin$ og $\log$), men jeg husker ikke hva de var sånn i hodet. Noen som kjenner til det?
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 5892
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: diff lik

Innlegg Nebuchadnezzar » 03/11-2019 00:43

Emilga skrev:Ja, det er meget tvilsomt, og sannsynligvis bare flaks at man ender opp med rett svar.

Litt som $ \frac{16}{64} = \frac{1 \cancel{6}}{\cancel{6} 4} = \frac 14$.



$
\frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} x } \frac{1}{x} = \frac{ \cancel{\mathrm{d}} }{ \cancel{\mathrm{d}} x } \frac{1}{x} = \frac{}{x} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}
$

Men angående konvergens av den opprinnelige likningen så har jo den første metoden akkuratt samme problemer med konvergens.
Å vise at rekken faktisk konvergerer, er langt vanskeligere enn å finne den angivelige verdien.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Nebuchadnezzar offline
Fibonacci
Fibonacci
Brukerens avatar
Innlegg: 5530
Registrert: 24/05-2009 13:16
Bosted: NTNU

Re: diff lik

Innlegg Emilga » 11/11-2019 10:21

Flammable Math har lastet opp en morsom video om derivasjonsoperatoren og geometrisk rekke: https://www.youtube.com/watch?v=sqjKFR3BECs
Emilga online
Poincare
Poincare
Innlegg: 1431
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 17 gjester