Julekalender, luke 11
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Vi har gitt likningen
$(1) \;\; 5F_x - 3F_y = 1$,
der $F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, \ldots$ er Fibonacci-følgen.
Likning (1) gir [tex]x<y[/tex]. Anta at $y \geq x+2$. Herav følger at
$F_y \geq F_{x+2} = F_{x+1} + F_x \geq 2F_x$,
som i kombinasjon med likning (1) medfører at
$6F_x \leq 3F_y = 5F_x - 1$,
i.e. $F_x \leq -1$. Denne motsigelsen impliserer at $y<x+2$, som i kombinasjon med $x<y$ gir $y=x+1$, hvilket innsatt i likning (1) resulterer i
$(2) \;\; 5F_x - 3F_{x+1} = 1$.
Ved å sjekke finner vi at eneste løsning når $x<5$ er $x=3$.
Anta at $x \geq 5$. Dette medfører at
$5F_x - 3F_{x+1} = 5F_x - 3(F_x + F_{x-1}) = 2F_x - 3F_{x-1} = 2(F_x - F_{x-1}) - F_{x-1} = 2F_{x-2} - F_{x-1} = 2F_{x-2} - (F_{x-2} + F_{x-3}) = F_{x-2} - F_{x-3} = F_{x-4}$,
som betyr at likning (2) er ekvivalent med
$(3) \;\; F_{x-4} = 1$.
Det faktum at $F_n=1$ hvis og bare hvis $n \in \{1,2\}$ gir i kombinasjon med likning (3) $x-4 \in \{1,2\}$, i.e. $x \in \{5,6\}$.
Konklusjon: Likning (1) har de tre løsningene $(x,y) = (3,4), (5,6), (6,7)$.
$(1) \;\; 5F_x - 3F_y = 1$,
der $F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, \ldots$ er Fibonacci-følgen.
Likning (1) gir [tex]x<y[/tex]. Anta at $y \geq x+2$. Herav følger at
$F_y \geq F_{x+2} = F_{x+1} + F_x \geq 2F_x$,
som i kombinasjon med likning (1) medfører at
$6F_x \leq 3F_y = 5F_x - 1$,
i.e. $F_x \leq -1$. Denne motsigelsen impliserer at $y<x+2$, som i kombinasjon med $x<y$ gir $y=x+1$, hvilket innsatt i likning (1) resulterer i
$(2) \;\; 5F_x - 3F_{x+1} = 1$.
Ved å sjekke finner vi at eneste løsning når $x<5$ er $x=3$.
Anta at $x \geq 5$. Dette medfører at
$5F_x - 3F_{x+1} = 5F_x - 3(F_x + F_{x-1}) = 2F_x - 3F_{x-1} = 2(F_x - F_{x-1}) - F_{x-1} = 2F_{x-2} - F_{x-1} = 2F_{x-2} - (F_{x-2} + F_{x-3}) = F_{x-2} - F_{x-3} = F_{x-4}$,
som betyr at likning (2) er ekvivalent med
$(3) \;\; F_{x-4} = 1$.
Det faktum at $F_n=1$ hvis og bare hvis $n \in \{1,2\}$ gir i kombinasjon med likning (3) $x-4 \in \{1,2\}$, i.e. $x \in \{5,6\}$.
Konklusjon: Likning (1) har de tre løsningene $(x,y) = (3,4), (5,6), (6,7)$.