matematikk.net

La $(F_n)$ være følgen definert rekursivt ved at $F_1=F_2=1$ og $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ for $n\ge 2$. Finn alle par av positive heltall $(x,y)$ slik at $$5F_x-3F_y=1 $$

Vi har gitt likningen

$(1) \;\; 5F_x - 3F_y = 1$,

der $F_1=F_2=1, F_3=2, F_4=3, F_5=5, \ldots$ er Fibonacci-følgen.

Likning (1) gir [tex]x<y[/tex]. Anta at $y \geq x+2$. Herav følger at

$F_y \geq F_{x+2} = F_{x+1} + F_x \geq 2F_x$,

som i kombinasjon med likning (1) medfører at

$6F_x \leq 3F_y = 5F_x - 1$,

i.e. $F_x \leq -1$. Denne motsigelsen impliserer at $y<x+2$, som i kombinasjon med $x<y$ gir $y=x+1$, hvilket innsatt i likning (1) resulterer i

$(2) \;\; 5F_x - 3F_{x+1} = 1$.

Ved å sjekke finner vi at eneste løsning når $x<5$ er $x=3$.

Anta at $x \geq 5$. Dette medfører at

$5F_x - 3F_{x+1} = 5F_x - 3(F_x + F_{x-1}) = 2F_x - 3F_{x-1} = 2(F_x - F_{x-1}) - F_{x-1} = 2F_{x-2} - F_{x-1} = 2F_{x-2} - (F_{x-2} + F_{x-3}) = F_{x-2} - F_{x-3} = F_{x-4}$,

som betyr at likning (2) er ekvivalent med

$(3) \;\; F_{x-4} = 1$.

Det faktum at $F_n=1$ hvis og bare hvis $n \in \{1,2\}$ gir i kombinasjon med likning (3) $x-4 \in \{1,2\}$, i.e. $x \in \{5,6\}$.

Konklusjon: Likning (1) har de tre løsningene $(x,y) = (3,4), (5,6), (6,7)$.