Grei funksjonalligning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Grei funksjonalligning

Innlegg Gustav » 03/01-2020 02:55

Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(xf(y)-y^2)=(y+1)f(x-y)$ for alle reelle $x,y$.

Hint: Vis at $f(x)$ er injektiv i $0$, dvs. $f(x)=0\Rightarrow x=a$ for en bestemt verdi $a$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4360
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei funksjonalligning

Innlegg DennisChristensen » 05/01-2020 17:02

Gustav skrev:Finn alle $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ slik at $f(xf(y)-y^2)=(y+1)f(x-y)$ for alle reelle $x,y$.

Hint: Vis at $f(x)$ er injektiv i $0$, dvs. $f(x)=0\Rightarrow x=a$ for en bestemt verdi $a$.


Først lar vi $x=0, y=1$ og observerer at $f(-1) = 0$.

Case 1: $f(0) = 0$. Om vi lar $y=0$ får vi at $f(x) = 0$ for alle $x$. Dette er én gyldig løsning.

Case 2: $f(0) \neq 0$. Vi viser at $f(y) = 0 \implies y=-1$. Anta at $f(y) = 0$. Da får vi at $f(-y^2) = (y+1)f(x-y)$ for alle $x$. Om vi lar $x=2y$ får vi at $f(-y^2) = 0$, og om vi lar $x=y$ får vi at $f(-y^2) = (y+1)f(0)$, hvilket tvinger $y=-1$, som ønsket. Om vi nå lar $x=y-1$ i den originale likningen får vi at $(y-1)f(y) - y^2 = -1$ for alle $y$, hvilket betyr at $f(y) = y+1$ for alle $y\neq 1$. Om vi substituerer dette inn i den originale likningen og lar $x=3, y=2$ får vi til slutt også at $f(1) = 2$, slik at $f(x) = x+1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonallikningen, er løsningen gyldig og vi er ferdige.
DennisChristensen offline
Grothendieck
Grothendieck
Innlegg: 822
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: Grei funksjonalligning

Innlegg Gustav » 07/01-2020 12:43

Ser bra ut! Fra Baltic way 2019
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4360
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 71 gjester