matematikk.net

Finn arealet av det skraverte området uttrykt ved $a$ og $b$ i den rettvinklede trekanten vist på bildet.

$ \hspace{1cm}
A = \frac{b^2}{2} \frac{b - a}{b + a}
$

Jeg fikk samme som Nebu:

Fant først linje 1:
[tex]y_1=-\frac{a}{b}x+a[/tex]

og linje 2:

[tex]y_2=-\frac{b}{a}x+b[/tex]

disse skjærer hverandre i B.

y1 = y2,
dvs
[tex]x=\frac{ab}{a+b}[/tex]
da har vi de tre koordinatene til den skraverte trekanten:


[tex]A=(0,b)[/tex]

[tex]B=(\frac{ab}{a+b},\frac{ab}{a+b})[/tex]

[tex]C=(b,0)[/tex]

Finner så arealet (A) vha formelen:

[tex]\large A=\frac12|\left| \begin{array}{ccc}&x_1&y_1&1\\&x_2&y_2&1\\ &x_3&y_3&1\\ \end{array}\right| | = \frac12|x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3|[/tex]

[tex]A=\frac{b^2}{2}(\frac{b-a}{a+b})[/tex]

Med en hjelpe-tegning/kladd fant jeg ut at:

[tex]A(skravert)=\frac{b^2}{2}-2(\frac{b}{2}\cdot \frac{ab}{a+b})=\frac{b^2}{2}(\frac{b-a}{a+b})[/tex]

Fine greier