1st order nonlinear ODE

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

1st order nonlinear ODE

Innlegg Janhaa » 11/03-2020 12:06

Solve the first order nonlinear ODE below:

[tex]xy' + y = y\cdot \ln(xy)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8094
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: 1st order nonlinear ODE

Innlegg Emilga » 12/03-2020 12:31

$$ xy^\prime + y = y \cdot \ln xy $$
Vi innfører substitusjonen: $u = xy$.
Da er $y = u/x$ og $u^\prime = x^\prime y + xy^\prime = y + xy^\prime$.
Slik at likningen blir:
$$u^\prime = \frac ux \ln u$$
$$ \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} = \frac 1x$$
$$ \int \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} dx = \int \frac 1x dx $$
$$ \int \frac{1}{u\cdot \ln u} du = \int \frac 1x dx $$
Vi gjenkjenner forhåpentligvis venstre integrand som den deriverte av $\ln ( \ln u)$, slik at:
$$ \ln( \ln u)) = \ln x + C_0 $$
$$ \ln u = e^{\ln x + C_0} = C_1x $$
$$ u = e^{C_1x} $$
$$y = \frac ux = \frac{e^{C_1x}}{x} $$
Emilga offline
Poincare
Poincare
Innlegg: 1496
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: 1st order nonlinear ODE

Innlegg Janhaa » 12/03-2020 12:43

Emilga skrev:$$ xy^\prime + y = y \cdot \ln xy $$
Vi innfører substitusjonen: $u = xy$.
Da er $y = u/x$ og $u^\prime = x^\prime y + xy^\prime = y + xy^\prime$.
Slik at likningen blir:
$$u^\prime = \frac ux \ln u$$
$$ \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} = \frac 1x$$
$$ \int \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} dx = \int \frac 1x dx $$
$$ \int \frac{1}{u\cdot \ln u} du = \int \frac 1x dx $$
Vi gjenkjenner forhåpentligvis venstre integrand som den deriverte av $\ln ( \ln u)$, slik at:
$$ \ln( \ln u)) = \ln x + C_0 $$
$$ \ln u = e^{\ln x + C_0} = C_1x $$
$$ u = e^{C_1x} $$
$$y = \frac ux = \frac{e^{C_1x}}{x} $$



sjølsagt korrekt :=)
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8094
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 8 gjester