matematikk.net

Solve the first order nonlinear ODE below:

[tex]xy' + y = y\cdot \ln(xy)[/tex]

$$ xy^\prime + y = y \cdot \ln xy $$
Vi innfører substitusjonen: $u = xy$.
Da er $y = u/x$ og $u^\prime = x^\prime y + xy^\prime = y + xy^\prime$.
Slik at likningen blir:
$$u^\prime = \frac ux \ln u$$
$$ \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} = \frac 1x$$
$$ \int \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} dx = \int \frac 1x dx $$
$$ \int \frac{1}{u\cdot \ln u} du = \int \frac 1x dx $$
Vi gjenkjenner forhåpentligvis venstre integrand som den deriverte av $\ln ( \ln u)$, slik at:
$$ \ln( \ln u)) = \ln x + C_0 $$
$$ \ln u = e^{\ln x + C_0} = C_1x $$
$$ u = e^{C_1x} $$
$$y = \frac ux = \frac{e^{C_1x}}{x} $$

Emilga skrev:$$ xy^\prime + y = y \cdot \ln xy $$
Vi innfører substitusjonen: $u = xy$.
Da er $y = u/x$ og $u^\prime = x^\prime y + xy^\prime = y + xy^\prime$.
Slik at likningen blir:
$$u^\prime = \frac ux \ln u$$
$$ \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} = \frac 1x$$
$$ \int \frac{u^\prime}{u\cdot \ln u} dx = \int \frac 1x dx $$
$$ \int \frac{1}{u\cdot \ln u} du = \int \frac 1x dx $$
Vi gjenkjenner forhåpentligvis venstre integrand som den deriverte av $\ln ( \ln u)$, slik at:
$$ \ln( \ln u)) = \ln x + C_0 $$
$$ \ln u = e^{\ln x + C_0} = C_1x $$
$$ u = e^{C_1x} $$
$$y = \frac ux = \frac{e^{C_1x}}{x} $$

sjølsagt korrekt :=)