løs likningene

[Janhaa]

løs likningene under:
a)
[tex]\large x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2}[/tex]

b)
[tex]x^3(x+1)=2(x+a)(x+2a)[/tex]

[tex]a\in R[/tex]


(håper det ikke har lurt seg noe corona-virus :=) ).

[Solar Plexsus]

a)

Vi har gitt likningen

$(1) \;\; x^{x^2} = \sqrt[2\sqrt{2}]{2}$.

Ved å sette

$(2) \;\; x=2^y$

inn i likning (1) får vi

$2^{y \cdot 2^{2y}} = 2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

som gir

$y \cdot 2^{2y} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$,

hvilket betyr at

$(3) \;\; y \cdot 2^{2y + \frac{3}{2}} = 1$.

Så y er positiv ifølge likning (3), som igjen medfører at

$(4) \;\; y = 2^z$,

som innsatt i likning (3) gir

$2^{z + 2^{z+1} + \frac{3}{2}} = 1$,

i.e.

${\textstyle (5) \;\; 2^{z+1} + z + \frac{3}{2} = 0}$.

Det faktum at funksjonen

${\textstyle f(z) = 2^{z+1} + z + \frac{3}{2}}$

er strengt stigende og

$f(-2)=0$

innebærer at eneste løsning av likning (5) er z=-2, som innsatt i identiteten (4) og (2) gir

$x = 2^y = 2^{2^z} = 2^{2^{-2}} = \sqrt[4]{2}$.

[Janhaa]

a)

Vi har gitt likningen

$(1) \;\; x^{x^2} = \sqrt[2\sqrt{2}]{2}$.

Ved å sette

$(2) \;\; x=2^y$

inn i likning (1) får vi

$2^{y \cdot 2^{2y}} = 2^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$

som gir

$y \cdot 2^{2y} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$,

hvilket betyr at

$(3) \;\; y \cdot 2^{2y + \frac{3}{2}} = 1$.

Så y er positiv ifølge likning (3), som igjen medfører at

$(4) \;\; y = 2^z$,

som innsatt i likning (3) gir

$2^{z + 2^{z+1} + \frac{3}{2}} = 1$,

i.e.

${\textstyle (5) \;\; 2^{z+1} + z + \frac{3}{2} = 0}$.

Det faktum at funksjonen

${\textstyle f(z) = 2^{z+1} + z + \frac{3}{2}}$

er strengt stigende og

$f(-2)=0$

innebærer at eneste løsning av likning (5) er z=-2, som innsatt i identiteten (4) og (2) gir

$x = 2^y = 2^{2^z} = 2^{2^{-2}} = \sqrt[4]{2}$.

fin løsning, takk for bidraget

[Janhaa]

mitt bidrag, som involverer:

[tex]x^{x^2}=\sqrt[2\sqrt{2}]{2}\\ \\(x^{x^2})^2=(\sqrt[2\sqrt{2}]{2})^2\\ \\ (x^2)^{x^2}=2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}=(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}\\ \\ x^2=\sqrt{2}\\ \\ x=\sqrt[4]{2}[/tex]

manipulere LHS = RHS