Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Innlegg Gustav » 20/03-2020 15:11

Bestem alle kontinuerlige funksjoner $f,g,h$ fra $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $$ f(x+y)=g(x)+h(y)$$ for alle reelle $x,y$.

Hint:
[+] Skjult tekst
Ligningen kan omformes til en Cauchy-funksjonalligning
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4360
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Innlegg Janhaa » 25/03-2020 12:01

slenger inn et forslag, ikke sikker:

[tex]f(x)=ax+b+c[/tex]
gitt:
[tex]g(x)=ax+b[/tex]
og
[tex]h(x)=ax+c[/tex]
der
a, b og c er konstanter.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7941
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Innlegg Janhaa » 25/03-2020 12:07

Eller:

[tex]f(x+y)=g(x)+h(y)\\ gitt:\\g(x)=ax+b\\ \\h(y)=ay+c\\ og\\ f(x+y)=a(x+y)+b+c\\ eller:\\ f(z)=az+b+c\\ der:\ x+y=z\\ og:\\ a,b,c[/tex]
er konstanter
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7941
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Innlegg Janhaa » 26/03-2020 16:09

Er disse også mulighet?


[tex]i)g(t)=\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=1\\ \\ ii)g(t)=-\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=\cos(2t)\\ \\ iii) g(t)=h(t)=\sin(t)\cos(t)\\ f(t)=\sin(2t)\\[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7941
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: Grei "Cauchy-aktig" funksjonalligning

Innlegg Gustav » 26/03-2020 16:34

Janhaa skrev:Er disse også mulighet?


[tex]i)g(t)=\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=1\\ \\ ii)g(t)=-\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=\cos(2t)\\ \\ iii) g(t)=h(t)=\sin(t)\cos(t)\\ f(t)=\sin(2t)\\[/tex]


Nei, alle løsninger er lineære funksjoner, så du har såvidt jeg kan se funnet samtlige i forrige innlegg, men du mangler bevis.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 4360
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 64 gjester