matematikk.net

Bestem alle kontinuerlige funksjoner $f,g,h$ fra $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ slik at $$ f(x+y)=g(x)+h(y)$$ for alle reelle $x,y$.

Hint:

[+] Skjult tekst

Ligningen kan omformes til en Cauchy-funksjonalligning

slenger inn et forslag, ikke sikker:

[tex]f(x)=ax+b+c[/tex]
gitt:
[tex]g(x)=ax+b[/tex]
og
[tex]h(x)=ax+c[/tex]
der
a, b og c er konstanter.

Eller:

[tex]f(x+y)=g(x)+h(y)\\ gitt:\\g(x)=ax+b\\ \\h(y)=ay+c\\ og\\ f(x+y)=a(x+y)+b+c\\ eller:\\ f(z)=az+b+c\\ der:\ x+y=z\\ og:\\ a,b,c[/tex]
er konstanter

Er disse også mulighet?


[tex]i)g(t)=\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=1\\ \\ ii)g(t)=-\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=\cos(2t)\\ \\ iii) g(t)=h(t)=\sin(t)\cos(t)\\ f(t)=\sin(2t)\\[/tex]

Janhaa skrev:Er disse også mulighet?


[tex]i)g(t)=\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=1\\ \\ ii)g(t)=-\sin^2(t)\,\,og\,\,h(t)=\cos^2(t)\\ f(t)=\cos(2t)\\ \\ iii) g(t)=h(t)=\sin(t)\cos(t)\\ f(t)=\sin(2t)\\[/tex]

Nei, alle løsninger er lineære funksjoner, så du har såvidt jeg kan se funnet samtlige i forrige innlegg, men du mangler bevis.