matematikk.net

Fins det en måte å stable 250 brikker som har dimensjon 1 x 1 x 4 i en boks som er 10 x 10 x 10?

Ja,og det finnes mange
(Gitt at det er snakk om innvendig mål i boksen).

planke skrev:Ja,og det finnes mange
(Gitt at det er snakk om innvendig mål i boksen).

Har du noe bevis også kanskje?

Hint:

[+] Skjult tekst

Det fins ingen måte. Fargelegg cellene i boksen med fire farger representert ved tallene 0,1,2,3 på en slik måte at hver brikke dekker celler av alle de fire fargene uansett hvordan brikken er plassert i boksen.

La oss kalle en brikke med høyde 1 for horisontal og en brikke med høyde 4 for vertikal.
Vi deler boksen inn vertikalt i etasjer.
For $1 \leq m \leq 10$ definerer vi $x_m$ som antall brikker horisontale brikker som befinner seg i etasje $m$.
For $1 \leq n \leq 7$ definerer vi $y_n$ som antall vertikale brikker der den nederste fjerdedelen av brikken befinner seg i etasje $n$.
La $S$ være det samlede antall horisontale brikker.
Alt i alt gir dette gir oss følgende likningssystem:

$(1) \;\; 4x_1 + y_1 = 100$
$(2) \;\; 4x_2 + y_1 + y_2 = 100$
$(3) \;\; 4x_3 + y_1 + y_2 + y_3 = 100$
$(4) \;\; 4x_4 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 100$
$(5) \;\; 4x_5 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 100$
$(6) \;\; 4x_6 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 100$
$(7) \;\; 4x_7 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7 = 100$
$(8) \;\; 4x_8 + y_5 + y_6 + y_7 = 100$
$(9) \;\; 4x_9 + y_6 + y_7 = 100$
$(10) \;\; 4x_{10} + y_7 = 100$
$(11) \;\; 4(x_1 + x_2 + … + x_{10}) = S$
$(12) \;\; y_1 + y_2 + …. + y_7 = 250-S$

Av likning (1) følger at $4 | y_1$. Ved å gjenta dette resonnementet for likning (k) etter tur med $k \in \{2,3,4,5,6,7\}$, får vi at $4 | y_k$.
Herav følger at $4 \mid y_1 + y_2 + \cdots + y_7$, som i kombinasjon med at det faktum at $4 | S$ (følger av likning (11)) og likning (12) gir $4 | 250$.
Denne motsigelsen beviser at 250 brikker av dimensjon 1x1x4 ikke kan få plass i en boks av dimensjon 10x10x10.

Interessant løsning! Oppgaven er fra Engels 'Problem solving strategies', kapittel 2. Coloring proofs.