Endelig kropp
Lagt inn: 20/06-2020 00:02
La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.
La $F$ ha orden $p^k$ for et primtall $p$. Den multiplikative gruppa $G=F\setminus 0$, er syklisk, så det fins et element $g\in G$ slik at $G=\{e,g,g^2,...,g^{p^k-2}\}$.Markus skrev:La $F$ være en endelig kropp. Vis at hvilket som helst element i $F$ kan skrives som summen av to kvadrater, altså hvis $x \in F$, så finnes det $y,z \in F$ slik at $x=y^2+z^2$.
Lemma: Hvis $A$ og $B$ er delmengder av en gruppe $G$, og $|A|+|B|>|G|$, så er $G=A+B$.
Anta først at $p>2$ er odde og la $K=\{0,e,g^2,g^4,...,g^{p^k-3}\}$, som er mengden av alle kvadrater. Nå er $2|K|=p^k+1>p^k=|F|$, så av lemmaet er $F=K+K$, dvs. at for hver $x\in F$, fins $y,z$ slik at $x=y^2+z^2$.
Anta så $p=2$ og la $f:F\to F$ være Frobenius endomorfien $f(x)=x^2$, som er surjektiv for endelige $F$, så alle elementer i $F$ er kvadrater. Dvs. at for enhver $x\in F$ fins en $y$ slik at $x=y^2+0^2$.