matematikk.net

Gitt
[tex]a \geq 0\,, b\geq 0\,, c \geq 0[/tex]

Bevis ulikheten:

[tex]\frac{2a}{b+c}\,+\,\frac{2b}{a+c}\,+\,\frac{2c}{a+b} \geq 3[/tex]

Dette er Nesbitt's inequality.

Wikipedia presenterer i alt 9 ulike løysingar på dette problemet.
Meiner at Jensen gir den enklaste og mest elegante løysinga , men denne ligg vel utanfor vgs-pensum.
Elles meiner eg å hugse at den same ulikskapen har vore presentert i ulikhetmaraton på herverande forum.

Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d [tex]\in[/tex] R[tex]_{+}[/tex]

Vis at [tex]\frac{a}{b}[/tex] + [tex]\frac{c}{d}[/tex] + [tex]\frac{b}{a}[/tex] + [tex]\frac{d}{c}[/tex] [tex]\geq[/tex] 4

Mattegjest skrev:Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d [tex]\in[/tex] R[tex]_{+}[/tex]

Vis at [tex]\frac{a}{b}[/tex] + [tex]\frac{c}{d}[/tex] + [tex]\frac{b}{a}[/tex] + [tex]\frac{d}{c}[/tex] [tex]\geq[/tex] 4

Ved å sette på fellesnevner, faktorisere ut to ganger og forkorte blir
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d}+ \frac{b}{a} + \frac{d}{c} =\\
\frac{a^2 + b^2}{ab} + \frac{c^2 + d^2}{cd}\\
a = kb => \frac{k^2b^2 + b^2}{kb^2} = k + \frac1k$
som har minimunsverdi 2 for k = 1. Analogt gjelder for $\\
\frac{c^2 + d^2}{cd}$ slik at $\frac{a^2 + b^2}{ab} + \frac{c^2 + d^2}{cd} \geq 4$

Mattegjest skrev:Ulikheit på vgs-nivå :

La a , b , c , d [tex]\in[/tex] R[tex]_{+}[/tex]

Vis at [tex]\frac{a}{b}[/tex] + [tex]\frac{c}{d}[/tex] + [tex]\frac{b}{a}[/tex] + [tex]\frac{d}{c}[/tex] [tex]\geq[/tex] 4

Det enkleste her er nok AM-GM som gir $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{b}{a}+\frac{d}{c}\ge 4\sqrt[4]{\frac{abcd}{abcd}}=4$.

Føler at eg må gi " full utteljing " til begge . Josi løyser ulikskapen heilt korrekt med det verktøyet som er tilgjengeleg på vgs-nivå.
Gustav presenterer ei meir " elegant " løysing ( AM-GM ) , men denne er ikkje med i vgs -pensum.

Ulikheit på vgs-nivå:

La a , b [tex]\in[/tex] R[tex]_{+}[/tex]

Vis at a[tex]^{3}[/tex] + b[tex]^{3}[/tex] [tex]\geq[/tex] a[tex]^{2}[/tex]b + ab[tex]^{2}[/tex]

Mattegjest skrev: Ulikheit på vgs-nivå:

La a , b [tex]\in[/tex] R[tex]_{+}[/tex]

Vis at a[tex]^{3}[/tex] + b[tex]^{3}[/tex] [tex]\geq[/tex] a[tex]^{2}[/tex]b + ab[tex]^{2}[/tex]

Tipper AM - GM i farta.

Trur ikkje at AM-GM er eit tenleg verktøy her . Dessutan: AM-GM fell utanfor vgs - pensum.

er jeg på rett spor hvis jeg setter[tex](a-b)(a^2-b^2)\geq 0[/tex] ?

Perfekt ! !

Gjest er på rett spor , men ikkje heilt i mål !

Gjest skrev:er jeg på rett spor hvis jeg setter[tex](a-b)(a^2-b^2)\geq 0[/tex] ?

$(a-b)(a^2-b^2) = {(a - b)}^2(a + b)\geq 0$

The proof is completed !

ny ulikhet på vgs nivå
vis at x^8-x^5+x^2-x+1 er større enn 0 for alle x som er element i R